Ädmïrö/Mate

08/04/2023

24/11/2022

Exercício nº 01

Resolva a equação diferencial seguinte;

(dy/dx)+2y=10

P(x)=2, Q(x)=10

1⁰ passo, achar o factor da integração

e^($P(x)dx

e^($2dx)

e^(2x)

2⁰ passo, multiplicar ambos membros o resultado do factor da integração na equação diferencial.

[(dy/dx)+2y]•e^(2x)=10•e^(2x)

e^(2x)•(dy/dx)+2y•e(2x)=10•e^(2x)

3⁰ passo, observar o primeiro membro ele sempre será o seu factor que foi calculado vezes y a derivada, isto é.

[y•e^(2x)]'=10•e^(2x)

4⁰ passo, integrando ambos membros do 3º passo.

$[y•e^(2x)]'=$(10•e^(2x))dx

y•e^(2x)=10•½e^(2x)+C

y•e^(2x)=5•e^(2x)+C. /×(e^(-2x)

y=5+C•e^(—2x)

Logo, y=5+C•e^(—2x) é a solução geral da equação diferencial (dy/dx)+2x=10

: a integração de uma função derivável é igual a mesma função.



$[y•e^(2x)]'=y•e^(2x)

24/11/2022

Exercício n⁰ 02

Resolve a equação diferencial com variável separada

(dy/dx)=x²/y

Utilizando a técnica de separação das variáveis

(dy/dx)=x²/y

ydy=x²dx

Integrando ambos membros

$ydy=$x²dx

y²/2=(x³/3)+C. /×(2)

y²=(2x³/3)+C

y=±√[(2x³/3)+C]

Logo, y=±√[(2x³/3)+C] é a solução geral da equação diferencial
dy/dx=x²/y

24/11/2022

Exercício nº 03

Achar a solução geral da seguinte equação diferencial homogénea

(x²+3xy+y²)dx—x²dx=0

Suponhamos que:

y=ux
dy=udx+xdu

Substituindo na equação

[x²+3x(ux)+(ux)²]-x²(udx+xdu)=0

(x²+3x²u+u²x²)dx—x²(udx+xdu)=0

x²(1+3u+u²)dx—x²(udx+xdu)=0

Multiplicando ambos membros por 1/x²

x²/x²(1+3u+u²)dx-x²/x²(udx+xdu)=0•1/x²

(1+3u+u²)dx—(udx+xdu)=0

dx+3udx+u²dx-udx-xdu=0

dx+2udx+u²dx—xdu=0

(1+2u+u²)dx—xdu=0

(1+2u+u²)dx=xdu

(u+1)²dx=xdu

dx/x=du/(u+1)²

Integrando ambos membros

$dx/x=$du/(u+1)²

ln|x|=$du/(u+1)²

Integrando no segundo membro com método de Substituição.

Sup: u+1=t

du=dt

$dt/t²=—1/t+C

Substituindo

—1/(u+1)+C

Voltando na equação principal

ln|x|=$du/(u+1)²

ln|x|=—1/(u+1)+C

Sabendo que:

y=ux => u=y/x

ln|x|=—1/(y/x+1)+C

ln|x|=—1/[(y+x)/x]+C

ln|x|=—x/(y+x)+C

ln|x|+x/(y+x)=C ,,

Logo, ln|x|+x/(y+x)=C, é a solução geral da equação diferencial homogénea.

25/10/2022

5.Interpolação aritmética

Em toda sequência finita (U1,U2,...Un-1,Un), os termos U1 e Um são chamados "extremos" e os demais são chamados "meio". Assim, na P.A ( 0,3,6,9,12,15) os extremos são 0 e 15 enquanto os meios são 3,6,9,12.

Interpolar, Inserir ou intercalar K meios aritméticos entre os números a e b significa obter uma P.A de extremos U1=a e Un=b, com n=K+2 termos. Para determinar os meios dessa P.A é necessário calcular a razão, o que é feito assim:

Un=U1+(n-1)•r

=> b=a+(k+2-1)•r

=> (k+1)•r=b—a

=> r=(b—a)/(k+1)

1.Exemplo.

Interpolar 5 meio aritméticos entre 1 e 2.

Resolução

Vamos formar uma P.A com 7 termos em que U1=1 e U7=2 temos:

U7=U1+6r

Isolando a razão r, teremos

r=(U7—U1)/6

r=(2—1)/6

r=1/6

Então: a P.A é ( 1, 7/6,8/6,9/6,10/6,11/6,2)

Os 5 meios são 7/6,8/6,9/6,10/6,11/6

Gostei da aula?

Então, deixa o teu like e convida o teu amigo, mboraaa apreender ✍️

11/10/2022

Siga a página ✍️

11/10/2022

Tema: Progressão Aritmética (P.A)

1.Definição

Chama-se progressão Aritmética (P.A) uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência

{U1=U
{Un=Un-1+1, ¥n€IN, n≥2

Em que U e r são números reais dados.

Assim, uma P.A é uma sequência em que cada termo a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r dada.

Eis alguns exemplos de Progressão Aritméticas:

F1={1,3,5,7,...} em que U1=1 e r=2

F2={0,-2,-4,-6,...} em que U1=0 e r=-2

F3={4,4,4,...} em que U1=4 e r=0

F4={ 1/2,3/2,5/2,...} em que U1=1/2 e r=1

F5={4,11/3,10/3,3,...} em que U1=4 e r=-1/3

Obs: U1—> primeiro termo

r —> razão



Qualquer dúvidas só deixar nos comentários

Continuação ✍️✍️