https://www.facebook.com/438865216150578/

Tạp chí Toán và Tin, Hanoi (2026)

Nhằm mục đích trao đổi thông tin, hay đôi khi chỉ là những cảm xúc say mê,
lãng mạn của người làm khoa học, mỗi tuần là một câu chuyện, chúng tôi
sẽ cố gắng đưa các bạn vào thế giới toán học một cách giản dị và chân thực
nhất. Trao đổi kinh nghiệm giảng dạy cũng như kiến thức toán bậc phổ
thông. Cung cấp các thông tin về hội thảo toán học, các giải thưởng toán học,
các công trình toán học lớn mới

được công bố, các hướng đi mới hay
tiểu sử các nhà khoa học lớn. Thông tin về các loại học bổng.
3. Giải đáp thắc mắc cho các bạn sinh viên về kiến thức toán cao cấp. Những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu Toán học.
4. Chia sẻ nguồn dữ liệu mở (tài liệu, phần mềm toán học).
5. Chuyện vui toán học. Góc sáng tạo của sinh viên. Các thành viên của nhóm gồm:
1. Tăng Quốc Bảo
2. Nguyễn Quang Tân
3. Trịnh Duy Tiến
4. Phạm Trọng Tiến
5. Vũ Anh Tuấn
Page BTTT với các thành viên cùng chung một khát vọng và niềm đam mê
khoa học, hi vọng sẽ được cùng trải nghiệm và dạo chơi trong mê cung trí
tuệ của các bạn. Phương châm của Page: “Tất cả vì một thế giới bình đẳng thông tin”
Hòm thư góp ý và chia sẻ bài cho Page: [email protected] hoặc
[email protected] . Bài được đăng sẽ được chúng tôi link trực tiếp đến
facebook của các bạn.

08/08/2022

[HỖ TRỢ TRUYỀN THÔNG]
TỔNG 𝐐𝐔𝐀𝐍 SỰ KIỆN & MỞ ĐƠN ĐĂNG KÝ 𝐓H𝐀𝐌 𝐆𝐈𝐀 CUỘC 𝐓𝐇𝐈 TOÁN MÔ HÌNH 𝟐𝟎𝟐𝟐 - 𝐄𝐗𝐎𝐃𝐔𝐒
TỔNG QUAN SỰ KIỆN & MỞ ĐƠN ĐĂNG KÝ THAM GIA CUỘC THI TOÁN MÔ HÌNH 2022 - EXODUS
>>> Đơn đăng ký: https://bit.ly/TMHEXODUS22
① EXODUS là gì?
Cuộc thi Toán Mô Hình đã chính thức quay trở lại với chủ đề vô cùng độc đáo: EXODUS - Di Cư, một vấn đề chính trị xã hội vĩ mô mà các bạn trẻ thường chưa có cơ hội tiếp xúc. Chủ đề được lấy cảm hứng từ Book of Exodus - Sách Xuất hành, kể về sự kêu gọi của Đức Chúa Trời với người dân Israel để đứng dậy và rời khỏi vị trí nô lệ của họ tại Ai Cập. Đến với cuộc thi, các bạn sẽ có cơ hội tìm hiểu về những kiến thức về di cư, các luồng di cư trên thế giới cũng như các vấn đề, hệ quả và nguyên nhân tử vong của người nhập cư.
② Thông tin cơ bản về cuộc thi
• Đối tượng tham gia: Học sinh, sinh viên sinh từ năm 2002 đến 2007 trên địa bàn cả nước
• Hình thức: Trực tiếp
• Địa điểm tổ chức: Đại học Bách khoa Hà Nội
• Số đội thi: 50 đội cho mỗi bảng Học sinh THPT / Sinh viên năm 1, năm 2 Đại học
• Số thành viên: 3 người/đội
• Thời gian diễn ra cuộc thi: 13-14/08/2022
• Trước cuộc thi sẽ có buổi huấn luyện kiến thức liên quan đến bộ môn Toán Mô hình và chủ đề của cuộc thi - EXODUS.
③ Cơ cấu giải thưởng
• Giải thưởng hiện kim
Giải Nhất: 3.000.000 VNĐ tiền mặt
Giải nhì: 2.500.000 VNĐ tiền mặt
Giải ba: 2.000.000 VNĐ tiền mặt
Giải khuyến khích: 1.500.000 VNĐ tiền mặt
• Hiện vật và voucher
Giải nhất:
— Coupon giảm 100% tối đa 12.000.000 VNĐ/đội cho khóa học tiếng Nhật N5/N4 có giá trị đến 31/12/2022 tại số 19/33 Chùa Láng.
— 3 phần quà trị giá 1.500.000 VNĐ từ nhà tài trợ Phong Vũ và 3 voucher giảm 50% tối đa 500.000 VNĐ/voucher khi mua hàng tại hệ thống Phong Vũ.
Giải Nhì:
— Coupon giảm 70% tối đa 8.400.000 VNĐ/đội cho khóa học tiếng Nhật N5/N4 có giá trị đến 31/12/2022 tại số 19/33 Chùa Láng.
— 3 phần quà trị giá 1.500.000 VNĐ từ nhà tài trợ Phong Vũ và 3 voucher giảm 50% tối đa 500.000 VNĐ/voucher khi mua hàng tại hệ thống Phong Vũ.
Giải Ba:
— Coupon giảm 50% tối đa 6.000.000 VNĐ/đội cho khóa học tiếng Nhật N5/N4 có giá trị đến 31/12/2022 tại số 19/33 Chùa Láng.
— 3 phần quà trị giá 1.500.000 VNĐ từ nhà tài trợ Phong Vũ và 3 voucher giảm 50% tối đa 500.000 VNĐ/voucher khi mua hàng tại hệ thống Phong Vũ.
Giải khuyến khích:
— Coupon giảm 30% tối đa 3.600.000 VNĐ/đội cho khóa học tiếng Nhật N5/N4 có giá trị đến 31/12/2022 tại số 19/33 Chùa Láng.
— 3 phần quà trị giá 1.500.000 VNĐ từ nhà tài trợ Phong Vũ và 3 voucher giảm 50% tối đa 500.000 VNĐ/voucher khi mua hàng tại hệ thống Phong Vũ.
Những phần quà và giải thưởng khác sẽ được Toán Mô Hình công bố thêm trong thời gian tới.
④ Thông tin đăng ký:
• Thời gian mở đơn: 30/07/2022 - 10/08/2022
• Lệ phí tham gia:
— Loại 01: 65.000 VNĐ/thành viên (gồm lệ phí thi, booklet hướng dẫn & thẻ dự thi)
— Loại 02: 135.000 VNĐ/thành viên (gồm lệ phí thi, booklet hướng dẫn, thẻ dự thi & áo thí sinh)
— Loại 03: 195.000 VNĐ/thành viên (gồm lệ phí thi, booklet hướng dẫn, thẻ dự thi, áo thí sinh & chi phí ăn trưa 2 ngày)
— Loại 04: 250.000 VNĐ/thành viên (gồm lệ phí thi, booklet hướng dẫn, thẻ dự thi, áo thí sinh, chi phí ăn trưa 2 ngày & chỗ ở cho thí sinh)
Lưu ý: BTC không chịu trách nghiệm với những chi phí phát sinh.
Đặc biệt hơn, tại Toán Mô hình 2022, chúng mình đã quyết định sẽ hỗ trợ tài chính cho những cá nhân phù hợp; thông tin chi tiết sẽ được đề cập ở một bài đăng khác. Đồng thời, BTC cũng sẽ cố gắng hỗ trợ các bạn ngoại tỉnh về các phương diện khác như chỗ ở, v.v.
Bởi vì Toán Mô hình 2022 là một cuộc thi được tổ chức TRỰC TIẾP HOÀN TOÀN nên mọi người hãy cân nhắc kỹ lịch trình trước khi đăng ký bởi vì BTC sẽ không hoàn tiền dưới mọi hình thức. Đừng quên theo dõi những thông tin mới nhất từ chúng mình trên fanpage Toán Mô hình nhé!
_____________________________
Info Session là một buổi workshop của 4 diễn giả trong ngành Toán học, giúp các bạn hiểu thêm về ứng dụng của Toán trong đời sống ở nhiều lĩnh vực khác nhau.
Đăng ký Info Session tại: bit.ly/INFOSESSIONTMH2022
Tham gia Cuộc thi Toán Mô hình 2022 - EXODUS: https://bit.ly/TMHEXODUS22
_____________________________
𝐂𝐎𝐍𝐓𝐀𝐂𝐓𝐒:
Hotline: 0855 928 355 (Hải Nguyễn)
Email: [email protected]
Instagram: toanmohinh.hanoi
Website: https://toanmohinhvn.com/

05/07/2022

[HỖ TRỢ TRUYỀN THÔNG]
❤️ Chương trình Tình nguyện NẮNG XANH ver.10 ❤️

🌄🌄 Nắng Xanh là sự kiện tình nguyện hè thường niên của Câu lạc bộ 25 Hoàng Hà nhằm giúp đỡ, hỗ trợ những gia đình và các em nhỏ có hoàn cảnh đặc biệt khó khăn, thiếu thốn nơi vùng sâu, vùng xa.

🏞️🏞️ “Nắng Xanh Version 10” năm 2022, Câu lạc bộ 25 Hoàng Hà đến với xã Quang Minh, huyện Vân Hồ, tỉnh Sơn La. Đây là một xã miền núi thuộc vùng III khó khăn với điều kiện tự nhiên khắc nghiệt, địa lý xa xôi, cơ sở vật chất còn yếu kém và là xã có nhiều hộ nghèo nhất huyện Vân Hồ. Với hoàn cảnh điều kiện còn nhiều khó khăn như thế nên các em nhỏ tại địa phương không được tiếp xúc nhiều với các kiến thức đời sống cần thiết và cũng chưa được phát triển toàn diện về thể chất và tinh thần.

🥰🥰Với mong muốn ủng hộ người dân địa phương và tặng các phần quà cho các em học sinh để cải thiện đời sống khó khăn, khuyến khích tinh thần học tập cũng như cải thiện cơ sở vật chất trong nhà trường. Câu lạc bộ 25 Hoàng Hà rất mong được sự ủng hộ và giúp đỡ của tất cả mọi người để chương trình “Nắng Xanh Version 10” được diễn ra thành công tốt đẹp.

📌1. Thời gian, địa điểm:
🏠 Địa điểm: xã Quang Minh, huyện Vân Hồ, tỉnh Sơn La
⏱ Thời gian tặng quà: 15 - 19/07/2022
⌚️ Thời gian quyên góp : 02 - 13/07/2022

📌2. Thành phần tham gia : Tất cả các tổ chức có mong muốn ủng hộ, quyên góp cho chương trình

📌3. Phương thức ủng hộ
🔹Bằng vật phẩm: sách vở, đồ dùng học tập, mì tôm …
🔹Bằng tiền.

📌4. Cách thức thu nhận :
🔻Đối với các thành viên trong CLB : liên hệ trực tiếp với đội trưởng các đội để tiến hành thu nhận.
🔻 Đối với các tổ chức, cá nhân ngoài CLB :
➡️ Liên hệ Nguyễn Thị Thu Hà – 0967848393.
➡️Hoặc chuyển khoản ngân hàng theo tài khoản:
💕Ngân hàng VP Bank
- Chủ tài khoản: NGUYEN THI THU HA (Chủ nhiệm CLB)
- Số tài khoản: 257861546
- Chi nhánh: Phạm Văn Đồng.
⚠️Khi chuyển khoản, chú ý ghi rõ nội dung chuyển tiền theo cú pháp: Họ tên + đơn vị + Ủng hộ NXV10
Hãy để yêu thương không chỉ là lời nói. Hãy để sống là cho đi, đâu chỉ nhận riêng mình. Vậy nên, chúng mình hy vọng sẽ nhận được sự chung tay giúp đỡ của các cá nhân, đơn vị ủng hộ ! 😘😘
------------------------------------------------------
💛 NẮNG XANH VERSION 10 💚
📧 Gmail: [email protected]
☎️ Liên hệ: Trưởng BTC - Nguyễn Đức Hiếu – 0823367686

03/04/2022

TOÁN MÔ HÌNH CHÍNH THỨC MỞ ĐƠN TUYỂN THÀNH VIÊN MÙA 8 ‼️
--------
📍 𝐀𝐩𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐟𝐨𝐫𝐦: https://bit.ly/TMH22_TTV
📍 𝐉𝐨𝐛 𝐃𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐩𝐭𝐢𝐨𝐧: https://bit.ly/TMH22_JD
📍 Đối tượng: Học sinh, sinh viên trên toàn quốc
📍 Thời gian đóng đơn: 23h59’ - 14/04/2022
--------
“Một ngôi nhà chẳng thể được dựng lên nếu thiếu nền móng vững chắc, cũng như một tổ chức sẽ không thể vận hành nếu thiếu những thành viên tài năng!”
Và đúng như vậy, Toán Mô hình đang trên chặng đường tìm kiếm những mảnh ghép còn thiếu để hoàn thiện đội ngũ Ban tổ chức nòng cốt - những người sẽ đồng hành cùng Toán Mô hình trong việc lan tỏa và mang những khái niệm toán học tưởng chừng như khô khan đến gần hơn với các bạn trẻ Việt Nam!

Sau 7 mùa tổ chức thành công vô số các cuộc thi và dự án như Toán Mô hình online & offline, Info Session, Cuộc thi 3C - Covid Cách ly Challenge, Maindays 4.0 Era,... Toán Mô hình đã quay trở lại với mùa 8 để đem lại những sự kiện thú vị và hấp dẫn hơn nữa. Sau khoảng thời gian dài bị trì hoãn vì Covid, Toán Mô hình mong đợi một năm 2022 bùng nổ hơn với những sự kiện offline thu hút sự tham gia của các bạn trẻ yêu toán trên toàn quốc!
Để thực hiện được sứ mệnh đó, Toán Mô hình cần sự đồng hành của bạn ở những vị trí sau:
✅ Ban Chuyên môn
✅ Ban Giáo dục
✅ Ban Truyền thông
✅ Ban Media - Design
✅ Ban Đối ngoại
✅ Ban Sự kiện
✅ Ban Nhân sự
✅ Ban Cộng tác viên - Đại sứ

Những lợi ích to lớn dành cho thành viên nòng cốt Toán Mô Hình mùa 7:
> Được làm việc trong môi trường trẻ trung, năng động, tôn trọng và văn minh.
> Được training về cách làm quản lý nhân sự, chuyên môn, truyền thông,... và được đào tạo học các kỹ năng liên quan đến công việc.
> Có cơ hội được học hỏi, giao tiếp với những thầy cô đầu ngành Toán học Ứng dụng ở Việt Nam.
> Nhận được giấy chứng nhận tham gia từ Toán Mô hình có xác nhận dấu đỏ của Hội Ứng dụng Toán học khi hoàn thành nhiệm vụ.
> Được tham gia hoạt động ngoại khóa, team building cho BTC Toán Mô Hình 2022.
> Gặp gỡ, trao đổi kiến thức với các anh/chị/bạn bè trong BTC có kinh nghiệm chuyên môn học thuật.
Toán Mô hình đã sẵn sàng cho những hành trình phía trước, còn bạn thì sao?
_____________________________
TOÁN MÔ HÌNH 2022 CHÍNH THỨC TUYỂN THÀNH VIÊN
👉 Thời gian: 01/04 - 14/04/2022
👉 Link đơn đăng ký: https://bit.ly/TMH22_TTV
👉 Link JD: https://bit.ly/TMH22_JD
_____________________________
𝐂𝐎𝐍𝐓𝐀𝐂𝐓𝐒:
☎️Hotline: 0855 928 355 (Hải Nguyễn)
📧Email: [email protected]
📸Instagram: toanmohinh.hanoi
🌐Website: https://toanmohinhvn.com/

13/10/2021

DỰ BÁO THỜI TIẾT
Thời tiết là một trong những ảnh hưởng bên ngoài lớn nhất đối với xã hội loài người, cũng như là một chủ đề mà loài người chúng ta luôn quan tâm và khám phá. Tuy nhiên, nó cũng vô cùng phức tạp! Việc dự báo thời tiết giúp chúng ta rất nhiều trong cuộc sống: giúp chúng ta biết liệu mình có cần mang ô khi đi ra ngoài vào lúc 2 giờ chiều ngày mai hay không, hay lớn hơn là cho các ngành nông nghiệp, giao thông và xây dựng và các ngành khác. Hay thậm chí là các hiện tượng thời tiết khắc nghiệt không thường xuyên, nơi những cảnh báo sớm có thể cứu sống hàng ngàn người và bảo vệ nhiều của cải, vật chất.

Thời tiết là một hệ thống vô cùng phức tạp với hàng tỷ các phân tử tương tác với nhau. Điều này làm cho việc dự đoán thời tiết trở thành một nhiệm vụ rất khó khăn cho các nhà khoa học, các nhà dự báo về thời tiết ngay cả khi chúng ta sử dụng mạng lưới rộng lớn của các trạm vệ tinh thời tiết và các siêu máy tính lớn nhất thế giới. Khi tính toán để dự báo thời tiết, các siêu máy tính chia toàn bộ bầu khí quyển thành hàng triệu khối, mỗi khối có kích thước khoảng một kilomet khối và sử dụng các mô phỏng số để tạo ra một dự báo có độ phân giải cao. Tuy vậy, ngay cả những khác biệt nhỏ trong phép đo và các thông số mô phỏng cũng có thể có ảnh hưởng lớn đến những dự đoán này. Do đó, vẫn khó có thể dự đoán chính xác thời tiết trước một vài tuần, chính vì vậy việc cải tiến các mô hình toán học và tốc độ của máy tính là điều rất cần thiết trong tương lai.

Các chất lỏng như khí quyển tuân theo một bộ các phương trình được gọi là phương trình Navier-Stokes. Tiếc rằng là chúng ta không biết một lời giải hoàn chỉnh cho những phương trình dạng này, và đây cũng chính một trong những bài toán chưa giải được lớn nhất trong toán học có giải thưởng Thiên niên kỷ trị giá 1 triệu đô la.

Vậy các nhà khoa học họ làm những công việc gì trong việc dự báo thời tiết? Ta sẽ đề cập đến một số công đoạn nhỏ trong việc tính toán các yếu tố liên quan đến việc dự báo thời tiết.

1. Nhận đầu vào cho Dự báo thời tiết với sự trợ giúp của Toán học.

Các nhà nghiên cứu tại Văn phòng Met gần đây đã sử dụng toán học để cải thiện cách thức thực hiện các phép đo thời tiết. Chúng ta càng có nhiều phép đo chính xác về thời tiết hôm nay, thì mô hình càng có thể dự đoán thời tiết trong tương lai tốt hơn.

Ngày nay, các máy bay truyền một số lượng lớn các phép đo khi đang ở không trung xuống các trạm mặt đất. Dữ liệu này là dữ liệu thô và chứa nhiều thông tin mà không nhất thiết là những gì mà các nhà dự báo thời tiết đang tìm kiếm. Khi đó, toán học được sử dụng để chuyển đổi các thông tin này thành các phép đo thời tiết mà các nhà dự báo thời tiết thực sự cần. Việc cải tiến quá trình này sẽ giúp giảm chi phí trong quá trình đưa thông tin từ trên khí quyển về mặt đất.

2. Đo gió
Khi ở trong máy bay, các thiết bị đo đạc cho ta biết được vectơ chuyển động của máy bay trong không khí và trên mặt đất, kí hiệu vector A biểu thị chuyển động của máy bay trong không khí, vector G chuyển động của máy bay trên mặt đất.

Vector gió (vector w) có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phương trình : vector w = vector G - vector A.

Véc-tơ gió cho phép dự báo biết tốc độ và hướng gió tại vị trí của máy bay. Tốc độ và hướng đi rất quan trọng trong dự báo thời tiết vì chúng thường có thể được sử dụng để dự đoán những thay đổi của thời tiết ví dụ như khi tiếp cận của một khu vực có áp suất thấp sẽ ảnh hưởng như thế nào?

3. Đo nhiệt độ
Máy bay cũng cho chúng ta biết tốc độ bay thực của chúng và được gọi là số Mach khi ở trong trạng thái bay. (Một số Mach là tốc độ không khí chia cho tốc độ âm thanh cục bộ và là một hàm của nhiệt độ.) Hai thông tin này có thể được sử dụng để tính nhiệt độ không khí: T = (v/38.975M)^2.

T = Nhiệt độ không khí tính bằng Kelvin, v = Tốc độ bay thực của máy bay tính bằng hải lý, M = Số Mach

Hai phương trình đơn giản trên cho phép các nhà dự báo thời tiết lấy thông tin tương đối máy bay hiện có và biến nó thành dữ liệu khí tượng có giá trị, cải thiện độ chính xác của dự báo và tránh phải xây dựng các phương tiện đo thời tiết mới tốn kém.

10/09/2021

PHÉP NHÂN MA TRẬN TỪNG BƯỚC ĐẠT TỚI MỤC TIÊU LÝ TƯỞNG

Các nhà toán học gần đây đã tiến được một bước gần hơn với mục tiêu "số mũ hai" của họ, tức là nhân một cặp ma trận cỡ nxn chỉ trong $n^2$ bước. Liệu họ có thể đạt được mục tiêu đó hay không?

Với các nhà khoa học máy tính và các nhà toán học, những đánh giá về "số mũ hai" là những kết quả quan trọng để ý thức về thế giới nên như thế nào?

"Thật khó để phân biệt tư duy khoa học với tư duy mơ mộng. Tôi muốn số mũ là hai vì nó đẹp." - Chris Umans, Viện Công nghệ California cho biết.

“Số mũ hai” đề cập đến ở đây là về tốc độ lý tưởng - về số bước cần thiết để thực hiện một trong những phép toán cơ bản nhất trong toán học: phép nhân ma trận. Nếu số mũ hai là có thể đạt được, ta có thể thực hiện phép nhân ma trận một cách nhanh nhất có thể về mặt vật lý. Còn nếu không, chúng ta đang mắc kẹt trong một thế giới có lẽ không phù hợp với giấc mơ của chúng ta.

Như chúng ta biết, ma trận là các mảng số. Khi có hai ma trận có kích thước tương thích, ta có thể nhân chúng để tạo ra ma trận thứ ba. Ví dụ: nếu bắt đầu với một cặp ma trận 2x2, ta sẽ tính được tích của chúng và kết quả cũng sẽ là ma trận 2x2, gồm 4 phần tử . Tổng quát hơn ta cũng có tích của một hai ma trận cỡ nxn cũng là một ma trận cỡ nxn với $n^2$ phần tử.

Chính vì lý do này, người ta hy vọng rằng ta có thể nhân các cặp ma trận cỡ nxn trong $n^2$ bước - tức là với số bước chỉ cần viết ra câu trả lời cho các phần tử của ma trận. Đây cũng là nơi xuất phát của "số mũ hai".

Và trong khi không ai biết chắc liệu có thể đạt được điều đó hay không thì các nhà nghiên cứu vẫn tiếp tục đạt được những tiến bộ theo hướng này.

Một bài báo được đăng vào gần nhất vào tháng 10 năm 2020, mô tả phương pháp nhanh nhất từ trước đến nay để nhân hai ma trận với nhau. Kết quả là của Josh Alman , một nhà nghiên cứu sau tiến sĩ tại Đại học Harvard, và Virginia Vassilevska Williams thuộc Viện Công nghệ Massachusetts: sai lệch về số mũ đã giảm đi khoảng một phần trăm nghìn so với số mũ tốt nhất trước đó. Đó là điển hình của một trong những thành tựu gần đây trong lĩnh vực này.

Để hiểu rõ quá trình và cách cải thiện quá trình này, ta hãy bắt đầu với một cặp ma trận 2x2, A và B. Khi tính toán từng phần tử của ma trận tích, ta sử dụng hàng tương ứng của A và cột tương ứng của B. Vì vậy, để có phần tử trên cùng bên phải, ta nhân số đầu tiên ở hàng đầu tiên của A với số đầu tiên ở cột thứ hai của B, sau đó nhân số thứ hai ở hàng đầu tiên của A với số thứ hai trong cột thứ hai của B, và cộng hai kết quả đó với nhau.

Thao tác này được gọi là lấy “tích trong” của một hàng với một cột. Để tính toán các phần tử khác trong ma trận tích, ta lặp lại quy trình với các hàng và cột tương ứng.

Nhìn chung, phương pháp để nhân hai ma trận 2x2 này cần dùng đến 8 phép nhân với một số phép cộng và tổng quát hơn, theo cách này để nhân 2 ma trận cỡ nxn ta sẽ cần dùng tới $n^3$ phép nhân và một số phép cộng.

Tuy nhiên, khi ma trận với kích cỡ lớn hơn, số phép nhân cần dùng để tính tích của chúng tăng nhanh hơn nhiều so với số phép cộng. Trong khi ta cần 8 phép nhân trung gian để tìm tích của 2 ma trận 2x2, thì lại cần tới 64 phép nhân để tích của 2 ma trận 4x4. Số lượng phép cộng cần dùng để tính thì lại gần nhau hơn nhiều. Số phép cộng mà ta cần dùng bằng số lượng các phần tử trong ma trận tích, tức là cần 4 phép cộng với ma trận 2x2 và 16 với ma trận 4x4. Sự khác biệt giữa phép cộng và phép nhân này cũng giải thích lý do tại sao các nhà nghiên cứu thường sẽ đo tốc độ của phép nhân ma trận hoàn toàn dựa trên số lượng các phép nhân.

"Các phép nhân là tất cả," Umans nói. “Số mũ trên thời gian chạy cuối cùng chỉ hoàn toàn phụ thuộc vào số phép nhân. Các phép cộng gần như là sẽ biến mất. "

Trong nhiều thế kỷ, người ta nghĩ rằng $n^3$ đơn giản là thời gian nhanh nhất mà ta có thể thực hiện được. Vào năm 1969, Volker Strassen được cho là đã chứng minh rằng không có cách nào để nhân ma trận 2x2 bằng cách sử dụng ít hơn 8 phép nhân. Nhưng rõ ràng anh ta không thể tìm được cách chứng minh, và sau một thời gian anh ta nhận ra rằng: Thực ra có một cách để làm điều đó với 7!

Strassen đã đưa ra ý tưởng với một tập hợp các mối quan hệ phức tạp để có thể thay thế một trong 8 phép nhân đó bằng 14 phép cộng bổ sung. Điều đó nghe có vẻ không có nhiều khác biệt, nhưng nó dẫn đến những kết quả thành công nhờ tầm quan trọng của phép nhân so với phép cộng. Và bằng việc tìm ra cách để lưu một phép nhân đơn lẻ cho các ma trận nhỏ 2x2, Strassen đã tìm ra một lỗ hổng mà anh ta có thể khai thác được khi nhân các ma trận lớn hơn.

Vassilevska Williams nói: “Cải tiến nhỏ này dẫn đến những cải tiến lớn với những ma trận lớn."

Ví dụ: Giả sử ta muốn nhân một cặp ma trận 8x8. Một cách để làm điều đó là ta chia mỗi ma trận lớn thành bốn ma trận 4x4, khi đó 2 ma trận 8x8 ban đầu được coi như là 2 ma trận 2x2, ở đó mỗi ma trận 2x2 thì có 4 phần tử, mỗi phần tử là một ma trận 4x4. Thông qua một số thao tác này, ta lại có thể chia bản thân mỗi ma trận 4x4 thành bốn ma trận 2x2.

Ưu điểm của sự giảm thiểu này là liên tục chia nhỏ các ma trận lớn hơn thành các ma trận nhỏ hơn - là có thể áp dụng thuật toán Strassen lặp đi lặp lại cho các ma trận nhỏ hơn, và rõ ràng sẽ tiết kiệm được thời gian ở mỗi bước. Và thuật toán của Strassen đã cải thiện tốc độ của phép nhân ma trận từ $n^3$ thành $n^{2.81}$ phép tính nhân.

Cải tiến lớn tiếp theo là vào cuối những năm 1970, với một cách thức cơ bản là mới để tiếp cận vấn đề. Nó liên quan đến việc chuyển phép nhân ma trận thành một bài toán tính toán khác trong đại số tuyến tính liên quan đến các đối tượng được gọi là tensors. Các tensors đặc biệt được sử dụng trong bài toán này là các mảng ba chiều gồm nhiều phần khác nhau, mỗi phần trông giống như một bài toán nhân ma trận nhỏ.

Phép nhân ma trận và bài toán liên quan đến các tensors tương đương với nhau theo một nghĩa nào đó, nhưng các nhà nghiên cứu đã có các cách làm nhanh hơn để giải quyết bài toán sau. Điều này khiến họ phải xác định tỉ lệ tương ứng giữa hai ma trận: Bạn có thể nhân ma trận lớn đến mức nào để có cùng một chi phí tính toán mà nó cần để giải bài toán tensor?

“Đây là một mô hình rất phổ biến trong khoa học máy tính lý thuyết, về việc giảm bớt giữa các vấn đề để cho thấy chúng dễ hoặc khó như nhau,” Alman nói.

Năm 1981, Arnold Schönhage đã sử dụng phương pháp này để chứng minh rằng có thể thực hiện phép nhân ma trận với $n^{2.522}$ phép tính nhân. Strassen sau đó gọi cách tiếp cận này là “phương pháp laser”.

Trong vài thập kỷ qua, mọi cải tiến trong phép nhân ma trận đều đến từ những cải tiến trong phương pháp laser, do các nhà nghiên cứu đã tìm ra những giải pháp ngày càng hiệu quả để chuyển đổi giữa hai vấn đề. Trong chứng minh mới của họ, Alman và Vassilevska Williams đã giảm bớt mâu thuẫn giữa hai bài toán và cho thấy rằng có thể “mua” nhiều phép nhân ma trận hơn mức đã nhận ra trước đây để giải một bài toán tensor có kích thước nhất định.

Henry Cohn của Microsoft Research cho biết: “Về cơ bản Josh và Virginia đã tìm ra cách sử dụng máy móc bên trong phương pháp laser và điều chỉnh nó để thu được kết quả tốt hơn".

Bài báo đã cải thiện giới hạn tốc độ lý thuyết trên phép nhân ma trận thành $n^{2,3728596}$ .

Điều này giúp Vassilevska Williams "giành lại vương miện" trong cuộc đua về thời gian nhân ma trận, mà trước đó cô đã nắm giữ vào năm 2012 ( $n^{2,372873}$ ), sau đó bị mất vào năm 2014 vào tay François Le Gall ( $n^{2,3728639}$ ).

Tất nhiên câu chuyện giành lại vương miện chỉ là trò đùa nhưng rõ ràng cách tiếp cận này đang giảm dần thời gian tính toán. Trên thực tế, sự cải tiến của Alman và Vassilevska Williams có thể đã đạt được hiệu quả gần như tối đa của phương pháp laser - tuy còn thiếu xa so với mục tiêu lý tưởng cuối cùng.

"Không có khả năng có một bước nhảy vọt để tính lũy thừa hai bằng cách sử dụng phương pháp cụ thể này," Umans nói.

Có lẽ để đạt được điều đó, chúng ta sẽ phải khám phá các phương pháp mới và duy trì niềm tin rằng điều đó là có thể. Và ... biết đâu một ngày nào đó kì tích sẽ xuất hiện !?!

Bài viết tham khảo tại: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-inch-closer-to-matrix-multiplication-goal-20210323/

07/09/2021

BANACH-TARSKI và NGHỊCH LÝ NHÂN BẢN VÔ HẠN

Một trong những kết quả kỳ lạ nhất trong toán học cho chúng ta một cách giải thích phương pháp biến một quả cầu thành hai bản sao giống hệt nó chỉ đơn giản bằng cách chia nhỏ quả cầu và sắp xếp lại các mảnh của nó.

Đó chính là nghịch lý Banach-Tarski, được đặt theo tên của hai nhà toán học Stefan Banach và Alfred Tarski vào năm 1924. Nghịch lý này chỉ ra rằng theo các quy tắc cơ bản của toán học, có thể chia một vật rắn hình cầu thành các mảnh sao cho khi ghép lại sẽ tạo thành hai bản sao giống hệt bản gốc.

“Mới nghe qua thì ta thấy điều này trái ngược hoàn toàn với trực giác” - Dima Sinapova, Đại học Illinois, Chicago.

Nghịch lý này xuất phát từ một trong những khái niệm phức tạp nhất trong toán học: vô hạn.

Vô hạn dường như là một con số, nhưng nó không có tính chất như một con số hữu hạn quen thuộc. Bạn có thể cộng hoặc trừ bất kỳ số hữu hạn nào với vô hạn và kết quả vẫn là vô hạn. Nhưng điều đó không có nghĩa là tất cả các số vô hạn được tạo ra đều bằng nhau.

Các nhà toán học đã chứng minh rằng một số số vô hạn “lớn hơn” những số vô hạn khác. Ví dụ, tập hợp các số tự nhiên là một tập vô hạn đếm được: Chúng ta có thể đếm tất cả các số từ một đến một nghìn tỉ… Ngược lại, tập hợp các số thực là một tập vô hạn không đếm được: Chúng ta không thể đếm được tất cả các số thực nằm trên một khoảng bất kỳ trên trục số, ngay cả những khoảng rất nhỏ, ví dụ như giữa không và một.

Sự khác biệt giữa sự đếm được và không đếm được này làm cho “số lượng” các số tự nhiên trở thành số vô hạn nhỏ hơn số các số thực, trong Toán học chúng ta dùng thuật ngữ “lực lượng của một tập hợp”. Trong thực tế, vào năm 1891, Georg Cantor đã chứng minh điều nói trên là chính xác: có nhiều số thực hơn số tự nhiên. Cantor cũng chứng minh rằng lực lượng của các điểm trên một đoạn thẳng bằng với lực lượng của các điểm lấp đầy một hình cầu (hoặc một hình bất kỳ nào đó trong không gian ba chiều).

Banach và Tarski nhận ra rằng chúng ta có thể tách một hình cầu thành hai bản sao của chính nó bằng cách phân chia tập hợp vô hạn không đếm được các điểm chứa trong hình cầu thành một số vô hạn không đếm được các tập hợp, trong đó mỗi tập hợp này là tập vô hạn đếm được các điểm. Sự phân tách xảy ra thông qua một quá trình phân chia rất cụ thể.

Để xây dựng một tập hợp vô hạn đếm được các điểm này, chúng ta sẽ chọn một điểm bất kỳ trong hình cầu để bắt đầu. Tiếp theo, chọn hai số đo góc là số vô tỉ với đơn vị là độ (°), ví dụ 𝞹°,... Chúng ta dùng 2 góc này để quay hình cầu, góc thứ nhất dùng cho các phép quay theo các hướng Bắc, Nam và góc thứ hai dùng cho các phép quay theo các hướng Đông, Tây.

Bây giờ, xoay hình cầu theo một trong bốn hướng Đông, Tây, Nam, Bắc theo số đo độ vừa chọn. Chúng ta sẽ đến một điểm mới, đây là điểm thứ hai trong tập hợp của chúng ta.

Sau đó, xoay hình cầu một lần nữa theo một trong số bốn hướng, nhưng không được quay ngược lại hướng vừa rồi (ví dụ: vừa rồi xoay theo hướng Đông thì bây giờ không được xoay theo hướng Tây). Chúng ta sẽ nhận được một điểm thứ ba. Nếu lặp lại quy trình này vô hạn lần, chúng ta sẽ tạo ra một tập hợp vô hạn điểm.

Tập hợp này sẽ có các tính chất quan trọng như sau:
1. Không chứa cùng một điểm nhiều hơn một lần. Điều này được đảm bảo bởi thực tế là các góc quay của chúng ta là số vô tỉ.
2. Đây là tập hợp vô hạn đếm được. Chúng ta có thể gán một số tự nhiên cho mỗi điểm được chọn thông qua quá trình quay.

Lặp lại quy trình tương tự với một điểm xuất phát bất kì khác trong hình cầu. Với mỗi điểm ban đầu, ta sẽ tạo ra được tập hợp các điểm tiếp theo duy nhất. Bằng cách này, chúng ta có thể tạo ra một số vô hạn không đếm được các tập hợp mà mỗi tập hợp chứa vô hạn đếm được các điểm.

Khi đã có những tập hợp này, chúng ta sẽ phân loại các điểm của chúng thành 6 nhóm nhỏ. Bốn nhóm đầu tiên gồm các điểm có cùng hướng của phép quay đã được thực hiện để chọn được điểm đó. Để cho tiện về sau, chúng ta sẽ gọi là các nhóm điểm Đông, nhóm điểm Tây, nhóm điểm Nam và nhóm điểm Bắc. Nhóm thứ năm gồm tâm của hình cầu và các điểm chưa thể chọn được (gọi là các cực). Nhóm thứ sáu gồm tất cả các điểm xuất phát.

Nếu chúng ta kết hợp những nhóm này với nhau thì vẫn chỉ tạo ra một hình cầu ban đầu, không phải là hai như cách của Banach và Tarski. Để nhân đôi nó, họ đã vận dụng một ý tưởng từ nhà toán học Felix Hausdorff, cho phép họ xoay tất cả các điểm trong một nhóm duy nhất để tạo ra một tập hợp điểm khác lớn hơn nhóm đó.

Ví dụ, chúng ta bắt đầu với nhóm điểm Đông. Bây giờ, hãy xoay nhóm này theo hướng Tây. Điều này ngay lập tức phủ định tất cả các phép quay theo hướng Đông và biến nhóm điểm Đông thành tập hợp (vô hạn) các điểm ngay trước khi tạo thành các điểm Đông. Tập hợp này sẽ chứa các điểm điểm Bắc, Nam và ngay cả các điểm Đông. Bạn có tin được không?

Bản chất của vô hạn làm cho sự gia tăng này có thể xảy ra. Khi quay toàn bộ nhóm điểm Đông theo hướng Tây, xóa tất cả các phép quay theo hướng Đông. Vậy những điểm mới này là gì?

Tất nhiên, không có bất kỳ điểm nào của nhóm Tây vì ban đầu không được phép đi ngược chiều. Nhưng có vô hạn điểm thuộc nhóm điểm Đông trước đó vì không có quy tắc nào cấm việc xoay theo hướng Đông hai lần liên tiếp. Cũng có vô số hạn điểm thuộc nhóm Bắc và nhóm Nam đúng không nào. Tất cả các điểm xuất phát bây giờ cũng ở trong này vì mọi điểm xuất phát của một đường đi chỉ có duy nhất một phép quay theo hướng Đông bây giờ sẽ trở thành chính nó.

Chỉ bằng cách xoay toàn bộ nhóm Đông theo hướng Tây, chúng ta đã biến nó thành một tập hợp chứa tất cả các nhóm điểm Đông, nhóm điểm Bắc, nhóm điểm Nam và nhóm 6. Lúc này, ta đã nhân đôi được nhóm điểm Bắc, nhóm điểm Nam và nhóm 6. Tương tự khi xoay nhóm Bắc theo hướng Nam, ta thu được tập hợp chứa tất cả các nhóm điểm Đông, nhóm điểm Tây, nhóm điểm Bắc và nhóm 6. Vậy chúng ta đã nhân đôi được 4 nhóm điểm theo các hướng và nhóm 6.

Khi đó, cùng với nhóm 5 ban đầu chúng ta có thể ghép các nhóm này lại thành 1 hình cầu hoàn chỉnh (Hình cầu 1) và 1 hình cầu còn thiếu các điểm thuộc nhóm 5 (Hình cầu 2).

Cuối cùng, chúng ta chỉ cần lấp đầy hình cầu 2 bằng các điểm ở nhóm 5 (tâm của hình cầu và các cực). Để làm được điều này, chúng ta dùng một nghịch lý khác liên quan đến vô hạn được gọi là nghịch lý khách sạn Hilbert, được David Hilbert nghĩ ra vào năm 1924, cùng năm Banach và Tarski đưa ra nghịch lý của họ.

Bạn hãy tưởng tượng một khách sạn có vô số phòng. Giả sử rằng chỉ có Phòng 43 là trống. Tiếp đến, chuyển mọi khách từ Phòng 44 trở lên xuống một phòng. Và bây giờ, bạn đã lấp đầy phòng trống mà không cần có thêm một vị khách mới vì khi khách ở phòng này chuyển xuống tầng dưới thì luôn có một vị khách ở phòng bên trên chuyển xuống.

Bây giờ, hãy tưởng tượng tập hợp các cực bị thiếu là những chỗ trống rải rác trên các đường vĩ độ khác nhau trên hình cầu được nhân đôi. Dịch chuyển tất cả các điểm trên mỗi đường vĩ độ sang chỗ trống này và tương tự theo nghịch lý khách sạn Hilbert, những chỗ trống này sẽ được lấp đầy. Tâm hình cầu còn trống tồn tại trên một mặt cầu có đường kính rất bé khác có thể được lấp đầy theo cách tương tự.

Vậy là chúng ta đã tạo ra được 2 hình cầu mới giống với hình cầu ban đầu.

Có vẻ như kết quả này không thể xảy ra, làm thế nào có thể tăng gấp đôi thể tích của một đối tượng chỉ bằng cách phân hủy và sắp xếp lại nó? Banach-Tarski đã làm bài toán đơn giản hơn bằng cách biến đổi tính không đếm được thành đếm được. Việc phân rã hình cầu bằng các phép quay tuần tự, giống như đếm số tự nhiên, tạo ra một không gian làm việc dễ quản lý hơn so với không gian vô hạn không đếm được ban đầu của hình cầu.

Một số người coi đó là một kết luận ngớ ngẩn chỉ ra một lỗ hổng trong các quy tắc lập luận toán học tạo ra nó. Quy tắc toán học làm cho nghịch lý Banach-Tarski khả thi được gọi là tiên đề chọn. Đó là một trong chín tiên đề trong hệ thống lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, hay ZFC, là nền tảng của toán học hiện đại.

Trong quá trình phát triển lịch sử của ZFC, tiên đề chọn đôi khi được xem như một phép bổ trợ cho tám tiên đề còn lại, điều này khiến nó dễ bị chỉ trích khi nó tạo ra những kết quả giống như nghịch lý Banach-Tarski. Tiên đề chọn cho phép các nhà toán học "chọn" một phần tử từ mỗi một tập hợp, ngay cả khi tập hợp đó là vô hạn. Điều này khiến Banach-Tarski trở thành một bài kiểm tra Rorschach về khả năng làm việc với vô hạn.

Nhưng hầu hết các nhà toán học không mất ngủ vì tiên đề chọn. Họ coi nghịch lý Banach-Tarski là một minh chứng cho sự phong phú của toán học. Nó đưa ra một ví dụ về cách toán học có thể đi lạc khỏi trực giác vật lý mà không mâu thuẫn với chính nó.

Nguồn tham khảo: https://www.quantamagazine.org/how-a-mathematical-paradox-allows-infinite-cloning-20210826/

Address

Hanoi

Website

facebook.com

Alerts

Be the first to know and let us send you an email when Tạp chí Toán và Tin posts news and promotions. Your email address will not be used for any other purpose, and you can unsubscribe at any time.

Contact The University

Send a message to Tạp chí Toán và Tin:

Tạp chí Toán và Tin