Resolução de Exercícios De Matemática , Física e Química Com Hélder, Luanda (2026)

01/03/2022

|x+5|+3x=|x|—1

21/02/2022

Resolução de uma Equação Irracional Elementar

√(5—x) = 3—x

Primeiro, analisemos a Condição de Exustência.

√a = b → b ≥ 0 → Pois todo número ao sair de uma raíz de índice Par será sempre Maior ou igual a zero, Desta teremos

√(5—x) = 3—x

C.E : 3—x ≥ 0 → x ≤ 3

Solução

√(5—x) = 3—x / ( )²

5—x= (3—x)²

5—x = x²—6x+9

x²—6x+x+9—5=0

x²—5x+4=0

(x—4)•(x—1)=0

{ x'=4
{ x=1

A Condição diz que x ≤ 3 , logo a solução é x=1

Pois 1 < 3 P•V

S : { 1 }

Verif**ação

x=1

√(5—x)=3—x

√(5—1)=3—1

√4=2

2=2 cqp

24/01/2022

Resolver a Equação

|4—x|+|7—3x|-|x|=1—x

23/01/2022

Bom dia, Bom Domingo a Todos.

√(x²—13x+15)=3x—√(4—2x)

06/04/2021

AUla exTRa
Prof : Hélder Guilherme António Bambi
→TEMA: Probabilidades
→SUBTEMA: Combinação de acontecimento ( Continuação )
Os experimentos aleatórios e os espaços amostrais estudado na aula anterior baseiam-se em espaços amostrais finitos, todavia existem espaços amostrais infinitos. Por exemplo, uma moeda é lançada até que o resultado cara (c) ocorra pela primeira vez, pois trata-se de um espaço amostral infinito porque nós não sabemos em que lançamento esse facto ocorrerá!. O nosso espaço amostral será Considerado infinito.
U={ 1°-lançamento, 2°-lançamento, 3°-lanc ... n lançamentos }
Mas a Teoria das Probabilidades baseia-se geralmente em Espaços amostrais finitos!, E o nosso estudo Também vai baseiar-se em espaço amostrais finitos. Acontecimento Possível ou Certo é aquele que se verif**a sempre que se realiza um experimento aleatório,
Exemplo
No lançamento de uma moeda, Sair cara ou coroa é um acontecimento possível
No lançamento de um dado com as faces numeradas de 1 à 6, sair um número menor que 7 é um acontecimento possível. O Acontecimento Impossível ja foi tratado na aula anterior!.

→→→→→↑ COMBINAÇÕES DE ACONTECIMENTOS ↑←←←←←←
1— UNIÃO DE ACONTECIMENTOS
Denota-se por : AUB ou A+B
Exemplo
No lançamento de um dado, Sair um número par é um acontecimento União (ou reunião) dos acontecimentos→sair 2, sair 4 e sair 6 , ou seja :
{2}U{4}U{6}={ 2, 4, 6 }
2— INTERSECÇÃO DE ACONTECIMENTOS
Denota-se por : AΠB ou A•B
Exemplo
No lançamento de um dado, sair 2 é um acontecimento intersecção dos acontecimentos
A={ sair um número par }={2; 4 ; 6}
B={sair um número primo}={2 ; 3 ; 5 }

Assim, temos
AΠB={ 2 }
3— Se A e B são dois acontecimentos que não podem acontecer simultâneamente, então (AUB)=∅
4— P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AΠB)

→→→→→→↑ DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE ↑←←←←←←←←
Seja A→ um evento ou acontecimento e U→ um espaço amostral, tal que os elementos do conjunto A pertencem a U.
A Probabilidade de um Acontecimento A ocorrer é dada pela Razão entre o número de Possibilidades desse acontecimento pelo total das possibilidades possíveis (U). E indica-se P(A).
P(A)=n(A)/n(U) ; com n(U) ≠ 0
Tal que
→ 0 ≤ P(A) ≤ 1
Interpretação : a probabilidade deve ser um número real maior ou igual a zero e menor ou igual 1 . Praticamente a probabilidade é um número muito pequeno como se fosse algo inexistente!.
→ P(A)=1 , se e somente se U=A
Interpretação : A probabilidade de um acontecimento A ocorrer é 1 se e somente se o espaço amostral é igual ao acontecimento!.
Nota: a Probabilidade de um acontecimento Também pode ser dada em Percentagem, basta multiplicar o número por 100℅, Chama-se Probabilidade Percentual.
Vamos Praticar um pouco neh?!😂😍😍😍😍😻😻😻😻😻😻😻
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
1- Considere o seguinte experimento aleatório : no lançamento de um dado perfeito com as faces númeradas de 1 à 6. Calcule a Probabilidade de :
a) Sair um número par
b) Sair um número ímpar
c) um número não inferior a 5
Solução
Seja A o acontecimento sair um número par
A={ 2 ; 4 ; 6 } → são os números pares no dado, o número de possibilidade é 3 ou seja n(A)=3
U={ 1, 2, 3, 4, 5. 6 } → número total de possibilidade no dado, é o nosso espaço amostral, ou seja n(U)=6

Agora estamos em condições de calcularmos a nossa Probabilidade, teremos
P(A)=n(A)/n(U)
P(A)=3/6=½ → P(A)=0,5=50℅
R: A probabilidade de sair um número par é de 50℅
b)
Seja B o acontecimento sair um número ímpar
B={ 1 ; 3 ; 5 } → n(B)=3
U={1,2,3,4,5,6}→ n(U)=6
P(B)=3/6=½=0,5 ou P(B)=50℅

R: A Probabilidade de sair um número ímpar é de 50℅
c)
Seja C o acontecimento um número não inferior a 5
C={ 5 ; 6 } → são os números não inferior a 5 no dado, temos dois elementos, ou seja n(C)=2
n(U)=6
Assim teremos

P(C)=2/6=⅓

R: A probabilidade de sair um número não inferior a 5 é de ⅓
2— Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 bolas vermelhas e 5 Azuis. Uma Bola é escolhida ao acaso da urna. Qual é a Probabilidade da bola escolhida ser : a) Branca, b) Vermelha , c) Azul

Solução
B¹,B²,B³→ Bolas Brancas
V¹, V²→ Bolas Vermelhas
A¹,A²,A³,A⁴,A''''' → Bolas Azuis
U={B¹,B²,B³,V¹,V²,A¹,A²,A³,A⁴,A"'''}→ n(U)=10
a) Bola extraida ser Branca
A={B¹,B²,B³}→ n(A)=3
P(A)=3/10
b) Bola extraída ser Vermelha
B={V¹,V²}→ n(B)=2
P(B)=2/10=1/5
c)Bola extraída ser Azul
C={A¹,A²,A³,A⁴,A'''''}→ n(C)=5
P(C)=5/10=½3—De um baralho de 52 cartas, tira-se uma delas. Calcule a Probabilidade de que a carta seja
a) Um rei
b) Um valete de Paus
c) Uma carta de ouros
d) Uma carta que não seja de ouros
Temos o nosso espaço amostral

n(U)=52

a) A: Ocorrer um rei

A={ rei de ouros, rei de paus, rei de copas, rei de espada }→ quatro elementos , ou seja, n(A)=4

P(A)=4/52=1/13
b) B: um Valete de Paus, na Carta há apenas um valete de paus, ou seja n(B)=1
P(B)=1/52
c) C: uma carta de ouros. Como há 4 naipes, então cada naipe tem 52÷4=13 cartas.

n(C)=13
P(C)=13/52=¼=25℅
d) D: Uma Carta que não seja de ouros. Temos 13 cartas de ouros, então pegamos no baralho e subtraimos as cartas de ouro!, como temos 13 cartas de ouro, será 52—13=39 cartas que náo são de ouros.

n(D)=39
P(D)=13/52=3/4=75℅
4— Com os dígitos 1, 2,3,4,5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles 3 escolhido ao acaso, qual é a probabilidade dele ser : a) Par ; b)Ímpar
Solução
O nosso espaço amostral será os Arranjos dos 5 dígitos tomados 4 á 4 ou seja
n(U)=A5,4=5!/(5—4)!=120 → n(U)=120
a) Seja B o evento, o número escolhido é par, então
_,_,_2 → A4,3=24
_,_,_4 → A4,3=24

n(B)=24+24=48 → n(B)=48

Agora podemos ir buscar a Probabilidade de ser par

P(B)=48/120=2/5
b) Seja C o evento, o número é ímpar!

Trata-se de um acontecimento Contrário, Pela fórmula tem-se

P(C)=1—P(B)

P(C)=1—2/5=3/5 → P(C)=3/5
5— De uma Urna com 20 bolinhas numeradas de 1 à 20, retira-se uma bolinha ao acaso. Calcule a Probabilidade dessa bolinha ter um número divisível por 2 ou por 3.
Solução
Nosso espaço amostral será
U={1,2,3,4...20}→ n(U)=20
A→ Conjunto dos números divisíveis por 2.
A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} → n(A)=10
P(A)=10/20=½
B→ Conjunto dos números divisíveis por 3.
B={ 3,6,9,12,15,18} → n(B)=6
AΠB → Conjuntos dos números divisíveis por 2 e por 3
AΠB={ 6, 12, 18 } → n(AΠB)=3
P(AΠB)=3/20

Agora pela fórmula, estamos em condições de encontrar a Probabilidade, teremos
P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AΠB)
P(AUB)=½ + 3/10 — 3/20 = 13/20
P(AUB)=13/20=65℅
6— O Hélder abriu um livro ao acaso, f**ando a vista duas páginas numeradas. Qual é a Probabilidade de a soma dos números dessas duas páginas ser ímpar ?

Sabe-se que a soma de um número par com um número ímpar é igual à um número ímpar, ora, das duas páginas numeradas uma tem o número par e a outra o número ímpar→ (acontecimento Certo)
Então
P(A)=2/2=1
→→→→→→→→→↑ ∆TAREFA∆ ↑←←←←←←←←←←←←
1— O Engenheiro Matemático lançou um dado ao ar sem que o Arthur Arsénio Veja, O Arthur disse que quando o dado caiu havia saído um número par. Qual é a Probabilidade dele descobrir esse número Engenheiro Matemático ?
2— Um casal planeja ter 3 filhos, qual é a probabilidade de os três serem do mesmo s**o ?
3—Uma Bola é Retirada de Uma urna que Contem bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retirada uma bola vermelha é de 5/17 . calcule a Probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha.
4— Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros. Qual é a probabilidade do número ser :
a) Multíplo de 9
b) Múltiplo de 3 e de 4
c) Multíplo de 3 ou de 4
Fim da aula, Hoje paramos aqui!. Amanhã Continuamos as mesmas horas!. Eu sou o Prof Hélder e participem do meu Programa AUla exTRa.

Bons estudos!

05/04/2021

AUla exTRa

Professor : Hélder Guilherme António Bambi
→TEMA : Probabilidades
→SUBTEMA : Teoria Das Probabilidades
→→→→→→→→→→↑ INTRODUÇÃO ↑←←←←←←←←←←←

O Primeiro Matemático a Circunscrever (Conceituar) Probabilidade foi Cardano (1501-1576), mas o cálculo das Probabilidades iniciou-se propriamente no Século XVI—XVII, Com Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre Fermat quando Estudavam questões ligadas aos jogos de azar ( Como jogos de Cartas e Roletas).!
O Cálculo ou Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que se dedica ao estudo de EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS ( Também chamados de fenómenos aleatórios). O estudo das Probabilidades têm aplicações em diversos ramos do Conhecimento e é requisito fundamental para o estudo da ESTATÍSTICA.

→→↑ ELEMENTOS PARA O ESTUDO DAS PROBABILIDADES ↑←←

1— EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Experimentos aleatórios são aqueles que, repetidos em idênticas condições, Produzem resultados diferentes, ou seja, seu resultado depende inteiramente do ACASO, isto é, Resultado imprevisível.
→Exemplos de experimentos aleatórios
O aparecimento de cara (c) ou coroa (k) no lançamento de uma moeda→ Pois quando lançamos uma moeda ao ar, o aparecimento da face cara ou face coroa é imprevisível, ou seja, nós não podemos prever!!, excepto se vc tem feitiço ou és do Uíge !😹😹😹😹😹, logo é um experimento ou fenómeno aleatório.

Lançar um dado→(é um experimento), aparecimento do número 5 na face superior do dado → (é aleatório)!. Pois não sabemos qual número vai sair !

Se eu Colocar Bolas com cores diferentes dentro de uma urna não transparente, e eu retirar (extrair) uma delas, a cor que poderei tirar é aleatório, Pois é imprevisível !.

2—ESPAÇO AMOSTRAL

O espaço amostral é o conjunto formado por todos os resultados Possíveis de um experimento aleatório. Vamos designar o nosso espaço amostral pela letra U.
→ Exemplos
Lançar uma moeda e observar a face de cima
Na moeda há apenas duas faces que são Cara→(c) e Coroa → (k), assim o nosso espaço amostral é

U={ C ; K }

Logo, nota-se que o número de elementos do nosso espaço amostral é 2 que são cara e coroa e pode ser representado da seguinte maneira

n(U)=2 ou ainda =2

Lançar um dado e observar a parte Superior.
Num dado, o conjunto de todos os números possíveis de sair em um lançamento, é que será chamado de espaço amostral, assim temos

U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } →n(U)=6 ou =6
Nota: Pra vo6 os Cunangas que jogam NÃO TE IRRITES ( mas mesmo assim se irritam quando estão a jogar😹😹😹😹😹😂😂), f**am já a Saber que cada lado (número) de um dado chama-se FACE, quando lançamos um dado, o número que sai chama-se face superior !!.
De uma urna Contendo 3 bolas Vermelhas (V), 2 bolas brancas (B) e 5 bolas azuis (A), extrair uma bola e observar a sua cor!
Sejam V→ Bolas Vermelhas, B→ Bolas Brancas e A→ Bolas Azuis, o nosso espaço Amostral Será
U={ V¹, V², V³, B¹, B², A¹, A², A³, A⁴, A'''''} → n(U)=10
Assim f**a claro e Concluído que para fazer um estudo Probabilístico é necessário dois elementos fundamentais :
→ UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO
→ UM ESPAÇO AMOSTRAL
Obs: A ausência de um desses elementos fará com que não seja possível realizar o Estudo Probabilístico !.
___________________________________________________________
→→→→→→↑ EVENTO OU ACONTECIMENTO ↑←←←←←←
Chamamos de acontecimento ou evento a qualquer subconjunto do espaço amostral.
→Exemplo
Sair cara no lançamento de uma moeda é um acontecimento!. Podemos representar esse acontecimento pelo subconjunto A. Esse acontecimento só ocorre se o resultado obtido pertence ao espaço amostral !.
→ACONTECIMENTO CONTRÁRIO
Denotemos por P(A')=1—P(A")
→Exemplo
A' → Sair cara no lançamento de uma moeda é o ACONTECIMENTO
A"→ Sair Coroa é o ACONTECIMENTO CONTRÁRIO
→ ACONTECIMENTO IMPOSSÍVEL OU INCERTO
→Exemplo
No lançamento de um dado com as faces numeradas de 1 à 6 sair número 8 é um acontecimento impossível. Pois isso só ocorre quando o o resultado obtido não for um elemento pertencente ao subconjunto do espaço amostral.

Na queda de uma moeda lançada ao ar, Sair cara e coroa ao mesmo tempo é um acontecimento impossível, Excepto se você é um feiticeiro ou alguem do Uíge 😂😂😂😂😅😅😅😅😹😹😹😸😸

→→→→→→→→→→→↑ TAREFA ↑←←←←←←←←←←←←←
1- Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 à 10, retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado. Determinar
a) O espaço amostral
b) O evento A: número de bolas ímpares
c) O evento B: número de bolas maior que 6
2-Numa Urna Contem 3 bolas amarelas e 2 brancas!, Eu tirei uma bola e vi que a cor era amarela, qual é o acontecimento contrário ?3-Dê três exemplos de Experimentos aleatórios que não envolvam Urna, Dado, Moeda ou um Baralho de Cartas!, Sendo um dos experimentos com o seu respetivo acontecimento contrário
4-Dê o espaço amostral desse experimento : Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE
5-Pesquisar e definir os seguintes termos

a) Dado não Viciado
b) Moeda não Viciada
Hoje paramos por aqui, Amanhã as mesmas horas 18h teremos a Continuação!. Amanhã falaremos de Combinação de Acontecimentos, Temos de ir Passo a Passo para que vo6 entendam!.
Eu sou o Prof Hélder e Participem do meu Programa : AUla exTRa
Bons Estudos

31/03/2021

AUla exTRa

Tema : AULA PRÁTICA ( Exercícios de aplicação )

Prof : Hélder Guilherme António Bambi

1— Resolver as Seguintes Equações Trigonometricas

a) 2Cos²x+Senx=2

b) Sen²3x+5•Sen3x+4=0

c) Sen²x+Sen²5x=1

Resolução

a)

2Cos²x+Senx=2

Bem, Sabe-se que Cos²x=1—Sen²x , teremos

2•(1—Sen²x)+Senx=2

2—2Sen²x+Senx—2=0

-2Sen²x+Senx=0. / •(-1)

2Sen²x—Senx=0

Senx(2Senx—1)=0

{Senx=0
{Senx=½

Primeiro Para Senx=0

Sabe-se que no Ciclo Trigonométrico O arco Correspomdente a 0 para o Seno é 180° ou π

Então teremos

Senx=0 ; → Senx=Senπ → x=kπ

Segundo Para Senx=½

Sabe-se que No Ciclo trigonometrico o Arco para o seno que Corresponde a ½ é o angulo de 30° (∅=30 ou π/6), Assim teremos

Senx=½ ; ½=Sen(π/6)→ x=π/6+2kπ

Colocando na Forma genérica, teremos

x=(—1)^(k)•(π/6)+kπ

Então temos o Conjunto Solução da Equação

S: { kπ ; (-1)^(k)•(π/6)+kπ ; onde k€Z }

b)

Sen²3x—5Sen3x+4=0

Vamos imaginar que Sen3x=t ; t€[-1 ; 1] , teremos

t²—5t+4=0

(t—1)•(t—4)=0

{t=1 ✔
{t=4 ❌ pois não Pertence no intervalo [-1 ; 1]

Agora vamos voltar na Realidade, tomando t=1 assim teremos

Sen3x=1

Analisando no Circulo, o arco que possui o seno igual a 1 é 90° ou π/2

Teremos

Sen3x=1 ; 1=Sen(π/2)

Sen3x=Sen(π/2)

3x=π/2+2kπ → x=π/6+2kπ/3

Assim, temos o Conjunto Solução da equação

S:{ π/6+2kπ }

c)

Sen²x+Sen²5x=1

Sen²5x=1—Sen²x ; sabe-se que 1—Sen²x=Cos²x, teremos

Sen²5x=Cos²x

Visto que ambos os membros possuem os mesmo expoentes, então despreemos, trabalhando apenas com as bases , teremos

Sen5x=Cosx ; Sabe-se que Cosx=Sen(π/2—x), teremos

Sen5x=Sen(π/2—x)

5x=π/2—x+2kπ

6x=π/2+2kπ

x=π/12+kπ/3

Assim temos a solução da Equação

S: { π/12+kπ/3 }
16/03
Hélder Guilherme
1)

Sen2x•Sen6x=Cosx•Cos3x

½(Cos4x—Cos8x)=½(Cos2x+Cos4x)

½•Cos4x—½•Cos8x=½•Cos2x+½•Cos4x

½(Cos2x+Cos8x)=0

½•[2Cos(10x/2)•Cos(6x/2)]=0

½•[2Cos5x•Cos3x]=0

Cos5x=0 ; Cos3x=0

Para Cos5x=0 → 5x=π/2+kπ → x=π/10+kπ/5

Para Cos3x=0 → 3x=π/2+kπ → x=π/6+kπ/3

S: { π/10+kπ/5 ; π/6+kπ/3 ; onde k€Z }

2)

3Sen²x—2Senx•Cosx—Cos²x=0. / ÷ Cos²x

3tg²x—2tgx—1=0

(tgx—1)•(3tgx+1)=0

{tgx=1 ; x=π/4+kπ
{tgx=-⅓ ; x=arctg(-⅓) +kπ → x=kπ—arctg(⅓)

S: { π/4+kπ ; kπ—arctg(⅓) onde k€Z }

3)

(1—Cos2x)/Senx=2

C.E : Senx≠0 → x≠kπ

Sabe-se que 1—Cos2x=2Sen²x , teremos

2Sen²x/Senx=2

2Senx=2. /•(½)

Senx=1 → Senx=Sen(π/2) → x=π/2+2kπ

S: { π/2+2kπ onde k€Z }

4)

Cosx—Cos3x=Sen2x

-2•Sen2x•Sen(-x)—Sen2x=0

Sen2x•(2Senx—1)=0

2Sen2x=0 ^ Senx=½

Para Sen2x=0

Sen2x=Senπ → 2x=kπ → x=kπ/2

Para senx=½

Senx=Sen(π/6)

x=(-1)^(k)•π/6+kπ

S: { kπ/2 ; (-1)^(k)•π/6+kπ onde k€Z }

5)

Cos4x+2Cos²x=1

Nota=2Cos²x=1+Cos2x

Cos4x+1+Cos2x=1

Cos4x+Cos2x=0

2Cos3x•Cosx=0

Cos3x=0 ^ Cosx=0

Para Cos3x=0 → 3x=π/2+kπ → x=π/6+kπ/2

Para Cosx=0 → x=kπ/2+kπ

S:{ π/6+kπ/3 ; π/2+kπ }

5)

√2•Cos²7x—Cos7x=0

Cos7x•(√2•Cos7x—1)=0

Cos7x=0 ; Cos7x=1/√2

Para Cos7x=0 → 7x=π/2+kπ → x=π/14+kπ/7

Para Cos7x=1/√2 → Cos7x=√2/2 → Cos7x=Cos(π/4)

7x=π/4+kπ → x=π/28+kπ/7

S: { π/14+kπ/7 ; π/28+kπ/7 }

5)

Sen2x+Sen8x=√2•Cos3x

2Sen5x•Cos3x—√2•Cos3x=0

Cos3x•(2Sen5x—√2)=0

Cos3x=0 ^ Sen5x=√2/2

Para Cos3x=0 → 3x=π/2+nπ → x=π/6+nπ/3

Para

Sen5x=√2/2 → Sen5x=Sen(π/4)

5x=π/4+nπ→ x=π/20+nπ/5

Generalizando x=(-1)ⁿ•π/20+nπ/5

S: { π/6+nπ/3 ; (—1)ⁿ•π/20+nπ/5 ; onde n€Z→ k=n }

7)

Senx—Cosx=1

Temos uma identidade para o arco iguual a π, teremos

Senπ—Cosπ=1 → 1=1 PV ✔✔

Então x=π+2kπ

Solução

Sabe-se que

Senx=2tgx/(1+tg²(x/2)) e Cosx=(1—tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))

Teremos então

2tgx/(1+tg²(x/2))—(1—tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))=1

2tg(x/2)—1+tg²(x/2)=1+tg²(x/2)

2•tg(x/2)=2. / •(½)

tg(x/2)=1 → tg(x/2)=tg(π/4) → x/2=π/4+kπ

x=π/2+2kπ

S: { π+2kπ ; π/2+2kπ ; onde k€Z }

8)

√3•tg²x—3tgx=0

tgx•(√3tgx—3)=0

tgx=0 ; tgx=3/√3

tgx=0 → x=kπ

tgx=√3 → Como √3=tg60°=tg(π/3)

tgx=tg(π/3)

x=π/3+kπ

S: { kπ ; π/3+kπ }

31/03/2021

Resolução

Ctgx+(Senx)/(1+Cosx)=2

C.E

{Senx≠0 → x≠kπ
{Cosx≠-1 → x≠ π+2kπ

Solution

Nota

Eu te dei as fórmulas e é pra vc estudar Cassule, senáo vais ver que eu pensei muito 😂😂😂😂

Nota

Ctgx=1/tgx e tgx=2tg(x/2)/(1—tg²(x/2))

Senx=2•Sen(x/2)•Cos(x/2)

1+Cosx=2Cos²(x/2)

Agora é só fazer as substituíções, 😂😂😂😂

1÷(2tg(x/2)/(1—tg²(x/2))+(2Sen(x/2)Cos(x/2))/2Cos²(x/2)=2

Fazendo que tg(x/2)=t com t Real

Terei

1•(1—t²)/2t+t=2

t²—2t+1=0 → (t—1)²=0

t=1

Restomando

th(x/2)=1 ; 1=tg(π/4)

tg(x/2)=tg(π/4)

x/2=π/4+kπ

x=π/2+2kπ

S: { π/2+2kπ }

29/03/2021

AUla exTRa

Tema : Continuação (Equações Trigonometricas Fundamentais )

Prof: Hélder Guilherme António Bambi

1— Equação do Tipo Senx=a ; a=Sen∅

Senx=Sen∅

x=∅+2kπ. U. x=π—∅+2kπ

Generalizando x=(-1)^(k)•∅+kπ ; onde k€Z

Nota: Esta equação só é Possível se —1 ≤ a ≤ 1

→ Casos Particulares

Senx=0 ; x=kπ ; k€Z

Senx=1 ; x=π/2+2kπ ; k€Z

Senx=—1 ; x=—π/2+2kπ ; k€Z

2— Equação do tipo Cosx=a ; a=Cos∅

Cosx=Cos∅ → x=±∅+2kπ

Nota : esta equação só é Possìvel se —1 ≤ a ≤ 1

→ Casos Particulares
Cosx=1 ; x=2kπ onde k€Z

Cosx=0 ; x=π/2+kπ onde k€Z

Cosx=—1 ; x=π+2kπ onde k€Z

3— Equação do Tipo tgx=a ; a=tg∅

tgx=tg∅ → x=∅+kπ onde k€Z

Nota : Esta equação é sempre possível qualquer que seja a .

→ Casos Partículares
tgx=0 ; x=kπ onde k€Z

tgx=1 ; x=π/4+kπ onde k€Z

tgx=—1 ; x=—π/4+kπ onde k€Z →{ou seja k tem de ser inteiro}

4—Equação do tipo Ctgx=a ; a=Ctg∅ ; (x≠kπ)

Ctgx=Ctg∅ → x=∅+kπ ; onde k€Z

→ Caso Particular

Ctgx=0 ; x=π/2+kπ Nota→ ∅ é o angulo

Agora vamos Praticar um Pouco neh ?! 😂😂😂☺☺☺☺ Próxima Aula

25/03/2021

AUla exTRa

Prof : Hélder Guilherme António Bambi

Tema : Equações Trigonometricas

→ INTRODUÇÃO

Def : Equação trigonométrica é toda equação em que a incógnita é uma função tigonométrica, porém nem todos os arcos satisfazem essa equações, para determinar esses arcos, recorremos ao Ciclo Trigonométrico sempre que necessário. As equações trigonométricas geralmente têm infinitas Soluções, reresentadas pela sua forma genérica. Quando um arco está limitado à um intervalo dado, atribuímos à k valores inteiros, determinando as Soluções que Satisfazem a equação.

de Equações Trigonométicas

Senx=½ ; Cosx=2/√2 ; tgx=1 ; etc , note que todas envolvem funções trigonometricas!.

Por Exemplo se temos que

Senx=(√2)/2 ; isso está quer dizer que temos de encontrar no Ciclo trigonométrico todos os valores que tem o Seno igual a (√2)/2

A resolução de equações trigonométricas baseia-se em reduzir numa das equações findamentais e alem disso é necessário conhecer as fórmulas trigonométricas assim como aos artifícios de Cálculo!. Então vamos ver Certas fórmulas

→ FÓRMULAS TRIGONOMETRICAS

RELAÇÕES FUNDAMENTAS ENTRE OS NÚMEROS TRIGONOMÉTRICO

1ª) Sen²x+Cos²x=1

2ª) Sen²x=1—Cos²x → Senx=±√(1—Cos²x)

3ª) Cos²x=1—Sen²x → Cosx=±√(1—Sen²x)

4ª) Cossec²x=1+Ctg²x

5ª) Sec²x=1+tg²x

6ª) Cosx=±1/√(1+tg²x)

7ª) Senx=±tgx/√(1+tg²x)

8ª) tgx=Senx/Cosx ; (x≠±π/2+kπ}

9ª) Ctgx=Cosx/Senx ; (x≠kπ)

10ª) Secx=1/Cosx ; (x≠±π/2+kπ)

11ª) Cossecx=1/Senx ; (x≠kπ)

ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO DE ARCOS

1ª) Sen(a+b)=Sena•Cosb+Senb•Cosa

2ª) Sen(a-b)=Sena•Cosb-Senb•Cosa

3ª) Cos(a+b)=Cosa•Cosb—Sena•Senb

4ª) Cos(a—b)=Cosa•Cosb+Sena•Senb

5ª) tg(a+b)=(tga+tgb)/(1—tga•tgb)

6ª) tg(a—b)=(tga—tgb)/(1+tga•tgb)

7ª) Ctg(a+b)=(Ctga•Ctgb—1)/(Ctga+Ctgb)

8ª) Ctg(a—b)=(Ctga•Ctgb+1)/(Ctgb—Ctga)

ARCOS DUPLOS E METADES

1ª) Sen2a=2Sena•Cosa

2ª) Sena=2•Sen(a/2)•Cos(a/2)

3ª) Cos2a=Cos²a—Sen²a=2Cos²a—1=1—2Sen²a

4ª) Sen²a=(1—Cos2a)/2

5ª) Cos²a=(1+Cos2a)/2

6ª) Sen²(a/2)=(1—Cosa)/2

7ª) Cos²(a/2)=(1+Cosa)/2

8ª) tg²(a/2)=(1—Cosa)/(1+Cosa)

9ª) Sen(a/2)=±√[(1—Cosa)/2]

10ª) Cos(a/2)=±√[(1+Cosa)/2]

11ª) tg(a/2)=±√[(1—Cosa)/(1+Cosa)]

12ª) Ctg(a/2)=±√[(1+Cosa)/(1—Cosa)]

13ª) Cosa=(1—tg²(a/2))/(1+tg²(a/2))

14ª) Sena=(2tg(a/2))/(1+tg²(a/2))

15ª) tga=(2tg(a/2))/(1—tg²(a/2))

16ª) tg2a=2tga/(1—tg²a)

17ª) Ctg2a=(Ctg²a—1)/(2Ctga)

FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS CIRCULARES

1ª) Sen3a=3Sena—4Sen³a

2ª) Cos3a=4Cos³a—3Cosa

3ª) tg3a=(3tga—tg³a)/(1—3tg²a)

TRANSFORMAÇÕES DE SOMAS E DIFERENÇAS EM PRODUTO

1ª) Senp+Senq=2Sen[(p+q)/2]•Cos[(p—q)/2]

2ª) Senp—Senq=2Sen[(p—q)/2]•Cos[(p+q)/2]

3ª) Cosp+Cosq=2Cos[(p+q)/2]•Cos[(p—q)/2]

4ª) Cosp—Cosq= -2Sen[(p+q)/2]•Sen[(p-q)/2]

5ª) Sena•Cosb=½[Sen(a+b)+Sen(a—b)]

6ª) Cosa•Cosb=½[Cos(a+b)+Cos(a—b)]

7ª) Sena•Senb=½[Cos(a-b)—Cos(a+b)]

Nota : Sen4a=8Cos⁴a—8Cos²a+1 ; Sen(-a)=-Sena ; Cos(-a)=Cosa

12/02/2021

1º Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). (3 Valores)
RESOLUÇÃO:
Essa questão é realmente muito boa!
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas:
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez MARCOS sobe 1 degrau por vez.
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor).
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus.
Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14).
Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais x/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou x, em 7 ela andará x/2).
FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então basta montar a equação:
28 + x = (14 + x) + (7 + (x/2))
28 + X = 21 + (3x/2)
28 – 21 = (3x/2) – x
7 = x/2
x = 14
Se x = 14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28 + x no total):
28 + 14 = 42 degraus
Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo:
(14 + x) + (7 + x/2) = (14 + 14) + (7 + 14/2) = 28 + 14 = 42 degraus
Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!!
2º Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe perguntam quanto custou o presente ela disse:
"Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digo apenas que o preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes." Quanto custou o presente? (3 Valores)
RESOLUÇÃO:
Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos supor que o preço estava em torno de R$ 1.000,00.
Portanto, estávamos em busca de um número de 4 algarismos, sendo 1 o primeiro deles. O último algarismo só poderia ser o 9, pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9 vezes o primeiro. Assim, sabemos que o número é 1ab9.
Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já que seu inverso também o é (pois é um número que vale nove vezes o preço do presente). Temos então o número 1ab9. Para que tal número seja múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8.
Os pares a e b que satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5; 4 e 4; 5 e 3; 6 e 2; 7 e 1 e finalmente, 8 e 0.
Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor que R$ 1.200,00, chegamos a R$ 1.089,00, que é o preço do presente. (1089 X 9 = 9801).
--------------------------------------II º GRUPO (5 VALORES)----------------------------------
RESOLUÇÃO:
1º Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos do sistema decimal sem os repetir, de modo que:
a) Comecem com 1. (1,5 Valores)
RESOLUÇÃO:
LEMBRE-SE QUE: Os algarismos do sistema decimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O número pode seguir três algarismos, sendo que para o primeiro existe apenas 1 possibilidade (1)e para os outros dois ainda existem 9 números disponíveis:
A(9,2) = 9!(9 – 2)!
A(9,2) = 9!/7!
A(9,2) = 9•8
A(9,2) = 72 números.
b) Comecem com 2 e terminem com 5.( 1,75 Valores)
RESOLUÇÃO:
Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (2), e para o terceiro também existe 1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades:
A(8,1) = 8!/(8 – 1)!
A(8,1) = (8•7!)/7!
A(8,1) = 8 números
c) Sejam divisíveis por 5. ( 1,75 Valores)
RESOLUÇÃO:
Para um número se divisível por 5, ele deve terminar em 0 ou com 5. Primeiramente vamos calcular o números de divisíveis por 5 que terminam com 0:
→ Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (0), e para os dois primeiros ainda existem 9 números disponíveis. Portanto o número de divisíveis por que terminam com 0 é:
1. A(9,2) = 9!/(9 – 2)!
A(9,2) = 72 números
→ Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam com 5: Para o terceiro algarismo existe apenas uma possibilidade (5).
Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades, pois o número não pode começar com 0 (senão seria um números com 2 algarismos). E para o segundo algarismo também existem 8 possibilidades (o segundo algarismo pode ser 0).
A(8,1) = 8!/(8 – 1)!
A(8,1) = 64 números
Resposta: O números de divisíveis por 5 é 72 + 64 = 136 números.
-------------------------------------------III º GRUPO (9 VALORES)---------------------------
Determine o menor valor de n ;n € N para qual
(√3 + i)ⁿ é: (3,5 Valores).
a) Real positivo
RESOLUÇÃO
1º: Vamos passar para a forma trigonométrica o número z = √3 + i.
Buscando o Módulo e argumento de z, tem-se:
|z| = √((x² + y²)
|z| = √(√3² + 1)
|z| = 2
tgθ = y/x
tgθ = 1/√3
tgθ = √3/3
θ = arctg(√3/3)
θ = π/6
Na forma polar ou trigonométrica: Z = |z|•(Cosθ + iSenθ.
Substituído |z| = 2 e θ = π/6
z = 2•(Cosπ/6 + iSenπ/6)
Buscando z ⁿ , tem-se:
zⁿ = 2ⁿ•[Cos (n•π/6) + iSen(n•π/6)]
REAL POSITIVO
Para que zⁿ seja real positivo, a parte imaginária tem de ser igual a zero. Logo:
2ⁿ • Sen(n•π/6) = 0
Sen(n•π/6) = Sen(0)
n•π/6 = k π
n = 6kπ/π
n = 6k ; k ∈Z
Para k = 0 ⟹ n = 0
Substituindo n = 0 em z ⁿ = 2ⁿ•[Cos (n•π/6) + iSen(n•π/6)], obtém-se:
z⁰ = 2⁰•[Cos (0•π/4) + iSen(0•π/4)]
z⁰ = 16•[Cos(0) + iSen(0)]
z⁰ = 1
Portanto, o menor valor de de n (n∈ N) para o qual (√3 + i)ⁿ seja real positivo é igual zero (n = 0).
REAL NEGATIVO
Para k = 1 ⟹ n = 6
Substituindo n = 6 em z ⁿ = 2ⁿ•[Cos (n•π/6) + iSen(n•π/6)], obtém-se:
z⁶ = 2⁶ •[Cos (6•π/6) + iSen(6•π/6)]
z⁶ = 64•[Cos(π) + iSen(π)]
z⁶ = – 64
Portanto, o menor valor de de n (n∈ N) para o qual (√3 + i)ⁿ seja real negativo é igual a seis (n = 6).
C) IMAGINÁRIO PURO.
Para que (√3 + i)ⁿ seja imaginário puro, a parte real tem-de ser igual a zero e a parte imaginário diferente de zero. Ou seja:
2ⁿ • Cos (n•π/6) = 0 Pela lei do anulamento do produto,tem-se:
2ⁿ = 0 ou Cos(n•π/6) = 0
2ⁿ = 0 ∄n
Cos (n•π/6) = cos⁡(π/2)
n• π/6 = π/2 + kπ
n = 6π•(1 + 2k)/2π
n = 3 + 6k ; k ∈Z
Para k = 0 ⟹ n = 3
Substituindo n = 3 Obtém-se:
2ⁿ • Cos(n•π/6)
2³ • Cos(3•π/6)
8•Cos (π/2)
8•0 = 0
2ⁿ • Sen(n•π/6) ≠ 0. Pela lei do anulamento do produto,te-se:
2ⁿ ≠ 0 ou Sen(n•π/6) ≠ 0
2ⁿ ≠ 0 ∄n
Sen(n•π/6) ≠ Sen⁡(0)
n•π/6 ≠ kπ
n ≠ 6k ; k ∈ Z
Portanto, o menor valor de de n (n ∈ N) para o qual (√3 + i)ⁿ seja real imaginário puro é n = 3 e n ≠ 6k
2º Um tanque, sem tampa, em forma de cone é feito com um material plástico, tem capacidade de 1.000 m³. Determine as dimensões do tanque que minimiza a quantidade de plástico usada na sua fabricação.
(2,75 Valores)
Solução:
A área do cone é: A₁ = πrl = πr•√(r² + h²), em que na última igualdade usamos o teorema de Pitágoras. Por outro lado, o volume do tanque é de 1.000 m³. Logo,
1.000 = V =(1/3) •πr²h
e
h = 3.000/πr²
Substituindo h na expressão da área. Temos:
A₁ = π•r•√([r² + (3000/(π²•r⁴)]
Como antes, minimizaremos A = (A₁)². Logo:
A(r) = π²•r⁴ + kr⁻²
Em que k = (3.000)² . Derivando - se e igualando a zero, obtemos:
A’(r) = 4π²•r³ – 2k/r³ = 0
(π²•r⁶ – 4500000)/r³ = 0 ; r≠0
r⁶ = 4500000/π²
r = ⁶√(4500000/π²)
r ≈ 8,773 m
Substituindo em h = 3.000/π•r² , obtém-se:
h = 3.000/π•(8,773)²
h ≈ 12,407 m
Consequentemente, A₁ = π•r•√(r² + h²),
A₁ = 8,773π•√(8,773² + 12,407²)
A₁ ≈ 418,8077 m²
3º Determine a área limitada por: (2,75 Valores)
y = x²/3 ; y = – x/2 + 9/2 ; x = 5 e y = 0
Resolução:
Buscando a intersecção entre as curvas, tem-se:
x²/3 = – x/2 + 9/2
2x² + 3x – 27 = 0 Transformando em produto de factores, tem-se:
(2x + 9)•(x – 3) = 0
x = – 9/2 ou x = 3
A(R₁) = ∫(x²/3)dx no intervalo [0 ;3] ; y = 0
A(R₂) = ∫(– x/2 + 9/2)dx no intervalo [3 ;5] ; y = 0
Calculando A(R₁).
A(R₁) = ∫(x²/3)dx = x³/9 Substituindo os limites x = 0 e x = 3, obtém-se:
A(R₁) = 3³/9
A(R₁) = 3 u.a
A(R₂) = ∫(–x/2 + 9/2)dx
A(R₂) = – x⁴/4 + 9x/2 Substituindo os limites x = 3 e x = 5, obtém-se:
A(R₂) = (– 5⁴/4 + 9•5/2) – (– 3⁴/4 + 9•3/2)
Substituindo os limites x = 3 e x = 5, obtém-se:
A(R₂) = 65/4 – 45/4
A(R₂) = 5 u.a
At = A(R₁) + A(R₂)
At = 3 u.a + 5 u.a
At = 8 u.a

Resolução de Exercícios De Matemática , Física e Química Com Hélder

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