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Ψ....................DE PROBABILIDADES Y MONEDAS....................ΨHace ya un tiempo, se daba el siguiente diálogo ent...
27/05/2016

Ψ....................DE PROBABILIDADES Y MONEDAS....................Ψ

Hace ya un tiempo, se daba el siguiente diálogo entre dos amigos que estaban jugando en la plaza del barrio.
• Jaimito le comenta a pedro: “Voy a arrojar tres monedas al aire. Si todas caen cara, te daré diez centavos. Si todas caen cruz, te daré diez centavos. Pero si caen de alguna otra manera, tú me das cinco centavos a mí."
• Pedro, mientras razonaba en voz alta: "Déjame pensarlo un minuto. Al menos dos monedas tendrán que caer igual porque si hay dos diferentes, la tercera tendrá que caer igual que una de las otras dos. Y si hay dos iguales, entonces la tercera tendrá que ser igual o diferente de las otras dos. Las probabilidades están parejas con respecto a que la tercera moneda sea igual o diferente. Por lo tanto, hay las mismas probabilidades de que las monedas muestren el mismo lado, como que no. Pero vos Jaimito estás apostando diez centavos contra cinco que no serán todas iguales, de modo que las probabilidades están a mi favor. ¡Bien, amigo, acepto la apuesta!"
¿Fue bueno para pedro, ya sea en el corto o largo plazo, haber aceptado la apuesta?
Para no restare importancia al desafío, consideremos que el juego se llevaba a cabo bastantes años atrás, en el que tanto ganar o perder diez centavos, significaba llenarse o no las manos de caramelos en el kiosco.

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Ψ...............LEYENDA DEL AJEDREZ…...........ΨRelacionado con el último problema relacionado con el juego de ajedrez, ...
06/04/2016

Ψ...............LEYENDA DEL AJEDREZ…...........Ψ

Relacionado con el último problema relacionado con el juego de ajedrez, dejamos a continuación el relato acerca de la invención de dicho juego de estrategia.
Difícil será descubrir la época exacta en que vivió y reinó en la India un príncipe llamado Iadava.
Tenía singular aptitud militar; sereno, elaboró un plan de batalla para impedir la invasión, y tan hábil y afortunado fue al ejecutarlo, que logró vencer y aniquilar por completo a los malintencionados perturbadores de la paz de su reino.
Mencionado triunfo le costó grandes sacrificios; muchos jóvenes y entre los mu***os, quedó su hijo, el príncipe Adjamir.
Con el correr de los días, se agravaba la angustia y la tristeza que oprimían el corazón del rey (En aquellos tiempos el desarrollo de la farmacología no estaba tan avanzado y no se lo podía mandar a un psiquiatra para que inicie un tratamiento con antidepresivos).
El infeliz monarca pasaba largas horas trazando, sobre una gran caja de arena, las diversas maniobras realizadas por las tropas durante el asalto. Un surco indicaba la marcha de la infantería; otro, paralelo, a su lado, mostraba el avance de los elefantes de guerra; un poco más abajo, representada en pequeños círculos, dispuestos con simetría, se perfilada la temida caballería. Así, por medio de gráficos, esbozaba el rey la colocación de las tropas, estando las enemigas desventajosamente colocadas, gracias a su estrategia, en el campo en que se libró la batalla decisiva.
Una vez completo el cuadro, borraba el rey todo, y comenzaba otra vez, como si sintiese placer en revivir los momentos de angustia y ansiedad pasados.
Un día, finalmente, fue informado el rey de que un joven –pobre y modesto- solicitaba una audiencia. Como estuviese en ese momento en buena disposición de ánimo, ordenó el rey que llevaran al desconocido a su presencia.
Conducido a la gran sala del trono, fue interpelado por uno de los visires del rey con el fin de saber el objetivo de su visita.
- Mi nombre es Lahur Sessa, y vengo de una aldea que está a treinta días de marcha de esta bella ciudad. Al recinto en que vivía llegó la noticia de que nuestro bondadoso rey arrastraba los días, en medio de profunda tristeza, amargado por la ausencia del hijo que le robaba la guerra.
Pensé en inventar un juego que pudiera distraerlo y abrir en su corazón las puertas a nuevas alegrías. Es ese insignificante obsequio que deseo, en este momento, ofrecer a nuestro rey Iadava.
Tenía el soberano hindú el grave defecto de ser excesivamente curioso. Cuando le informaron del obsequio de que el joven era portador, no pudo contener el deseo de verlo y apreciarlo sin demora.
Lo que Sessa traía consistía en un gran tablero cuadrado, dividido en sesenta y cuatro cuadraditos iguales; sobre ese tablero se colocaban dos colecciones de piezas, que se distinguían unas de otras por el color, blancas y negras, repitiendo simétricamente los motivos y subordinadas a reglas que permitían de varios modos su movimiento.
Sessa explicó con paciencia al rey, a los visires y cortesanos que rodeaban al monarca, en qué consistía el juego, enseñándoles las reglas esenciales:
- Cada uno de los jugadores dispone de ocho piezas pequeñitas, llamadas peones. Representan la infantería que avanza sobre el enemigo para dispersarlo. Secundando la acción de los peones vienen los elefantes de guerra, representados por piezas mayores y más poderosas; la caballería, indispensable en el combate, aparece, igualmente, en el juego, simbolizada por dos piezas que pueden saltar como dos corceles, sobre las otras; y para intensificar el ataque, se incluyen los dos visires del rey. Otra pieza, dotada de amplios movimientos, más eficiente y poderosa que las demás, representará el espíritu patriótico del pueblo y será llamada la reina. Completa la colección una pieza que aislada poco vale, pero que amparada por las otras se torna muy fuerte: es el rey.
Iadava, interesado por las reglas del juego, no se cansaba de interrogar al inventor:
- ¿Y por qué la reina es más fuerte y poderosa que el mismo rey?
- Es más poderosa –argumentó Sessa- porque la reina representa, en el juego, el patriotismo del pueblo. El poder mayor con que cuenta el rey reside en la exaltación cívica de sus súbditos. ¿Cómo podría el rey resistir los ataques de sus adversarios, si no contase con el espíritu de abnegación y sacrificio de aquellos que lo rodean y velan por la integridad de la patria?
En pocas horas el monarca aprendió a jugar, consiguiendo derrotar a sus visires en partidas que se desenvolvían impecablemente sobre el tablero.
Sessa, de vez en cuando, intervenía respetuoso, para aclarar una duda o sugerir un nuevo plan de ataque o de defensa.
En determinado momento el rey hizo notar, con gran sorpresa que la posición de las piezas, por las combinaciones resultantes de diversos lances, parecía reproducir exactamente la batalla de Dacsina, donde había caído en batalla el príncipe.
- Observad –dijo Lahur- que para conseguir la victoria es imprescindible el sacrificio de esta pieza.
E indicó precisamente la pieza que el rey Iadava, en el desarrollo del juego, pusiera gran empeño en defender y conservar.
El juicioso Sessa demostraba que el sacrificio de un príncipe es a veces impuesto como una fatalidad, para que de él resulten la paz y la libertad de un pueblo.
Al oír tales palabras, exclamó el rey sin ocultar su entusiasmo:
- No creí nunca, que el ingenio humano pudiera producir maravillas como este juego, tan interesante al par que instructivo. Moviendo esas simples piezas, aprendí que un rey nada vale sin el auxilio y la dedicación constante de sus súbditos, y que, a veces, el sacrificio de un simple peón vale más, para la victoria, que la pérdida de una poderosa pieza.
Y, dirigiéndose al joven le dijo:
- Quiero recompensarle, amigo mío, por este maravilloso obsequio, que de tanto me sirvió para aliviar viejas angustias. Pide para que yo pueda demostrar como soy de agradecido con aquellos que son dignos de una recompensa.
¿Quieres una bolsa llena de oro? ¿Deseas un arca llena de joyas? ¿Pensaste en poseer un palacio? Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra está ligada a una promesa.
-Voy a aceptar una recompensa que corresponda a su generosidad; no deseo, sin embargo, ni oro, ni tierras, ni palacios. Deseo mi recompensa en granos de trigo.
- ¿Granos de trigo? – Exclamó el rey, sin ocultar la sorpresa que le causara semejante propuesta-. ¿Cómo podré pagarle con tan insignificante moneda?
- Nada más simple –aclaró Sessa-. Dadme un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así duplicando sucesivamente hasta la sexagésima cuarta y última casilla del tablero.
Tanto el rey como los visires, se rieron estrepitosamente al oír la extraña solicitud del joven. - Insensato –exclamó el rey-. ¿Dónde aprendiste tan grande indiferencia por la fortuna? La recompensa que me pides es ridícula. Bien sabes que en un puñado de trigo hay un número enorme de granos. Debes darte cuenta de que con dos o tres medidas de trigo te pagaré holgadamente, conforme tu pedido, por las 64 casillas del tablero.
Mandó llamar el rey a los algebristas más hábiles de la Corte y les ordenó calculasen la porción de trigo que Sessa pretendía.
Los sabios matemáticos, al cabo de algunas horas, volvieron al salón para hacer conocer al rey el resultado completo de sus cálculos.
- Rey magnánimo –declaró el más sabio de los geómetras-: calculamos el número de granos de trigo que constituirá la recompensa elegida por Sessa, y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación humana.
Llegamos a la siguiente conclusión: la cantidad de trigo que debe entregarse a Lahur Sessa equivale a una montaña que teniendo por base toda una provincia, fuese 100 veces más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no produciría en un siglo la cantidad de trigo que, por vuestra promesa, debe entregarse al joven Sessa.
¿Cómo describir aquí la sorpresa y el asombro que esas palabras causaron al rey Iadava y a sus dignos visires? El soberano hindú se veía, por primera vez, en la imposibilidad de cumplir una promesa.
Lahur Sessa no quiso dejar afligido a su soberano. Después de declarar públicamente que se desdecía del pedido que formulara, el monarca lo nombró su primer ministro.
Y Lahur Sessa prestó los más señalados servicios a su pueblo y a su país, para mayor seguridad del trono y mayor gloria de su patria.

Solo para poner números al pedido del joven Sessa, que aclaramos que nada tiene que ver con el arquero de futbol, basta con mencionar que sólo a la última casilla del tablero de ajedrez le correspondía la exorbitante cantidad de:
2^63 = 9223372036854775808 granos de trigo; A la cual deberían de sumarse todos los granos de las casillas anteriores.

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Ψ..RESOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LAS OCHO REINAS..ΨA continuación se muestra una solución al problema anteriormente plantead...
11/09/2015

Ψ..RESOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LAS OCHO REINAS..Ψ
A continuación se muestra una solución al problema anteriormente planteado, el análisis de estas posibles soluciones fue obra del reconocido matemático alemán Gauss (estudiantes de estadística y matrices lo tendrán presente, esperemos que de buen modo).
Este reconocido físico y astrónomo propuso las 92 (sí! 92) modos de ubicar las ocho reinas en el tablero de manera que no se eliminen o "coman" entre ellas.
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Ψ..........PROBLEMA DE LAS OCHO REINAS…......ΨEn un tablero de ajedrez, compuesto por 64 casillas como se puede apreciar...
27/08/2015

Ψ..........PROBLEMA DE LAS OCHO REINAS…......Ψ
En un tablero de ajedrez, compuesto por 64 casillas como se puede apreciar en la siguiente figura, se busca poder distribuir ocho reinas de tal forma que ninguna de ellas pueda matar, eliminar o comer (sí, las reinas del ajedrez son caníbales) entre sí.
Es decir, en ocho casillas del tablero de ajedrez colocar ocho reinas, de tal forma, que los pares de ellas no estén situadas en ninguna línea paralela a cualquier borde y en ninguna línea paralela a cualquier diagonal del tablero.
A modo de aliento, la resolución no es única, por lo que se puede arribar a varias que admitan la condición planteada.
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Excelente charla brindada por el matemático argentino Adrián Paenza, en la que propone que muchas veces la percepción ne...
28/05/2015

Excelente charla brindada por el matemático argentino Adrián Paenza, en la que propone que muchas veces la percepción negativa a la ciencia se debe, simplemente, a la entrada por la puerta equivocada...

This talk was given at a local TEDx event, produced independently of the TED Conferences. ¿Cómo nos acercamos a la ciencia y en particular a las matemáticas?...

RESOLUCIÓN AL PROBLEMA CON FÓSFOROSSe deja a modo ilustrativo cómo era la disposición de los fósforos para que queden fo...
21/05/2015

RESOLUCIÓN AL PROBLEMA CON FÓSFOROS

Se deja a modo ilustrativo cómo era la disposición de los fósforos para que queden formados los 15 cuadrados. Se pueden contar dos grandes, los nueve chiquitos en la parte derecha, y cuatro medianos que se forman precisamente con cuatro cuadraditos más chicos cada uno.
Se espera que no hayan tirado la caja de fósforos al piso o al tacho de basura en el intento.

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Ψ..............PROBLEMA CON FÓSFOROS..............ΨSi bien es verdad que el uso de los tan conocidos fósforos o cerillas...
13/05/2015

Ψ..............PROBLEMA CON FÓSFOROS..............Ψ

Si bien es verdad que el uso de los tan conocidos fósforos o cerillas se ha visto afectado por la mayor comodidad que presentan los encendedores (imaginemos la situación de cargar con una caja de fósforos en el bolsillo de una camisa; o maniobrar en algún bar con el objetivo de prender un ci******lo, después de alguna que otra copa encima), en más de una casa debe haber aún alguna caja cerca de la cocina como para reproducir la siguiente figura.

Se trata de una especie de templo griego, como el de la foto de perfil de la página, para el cual se necesitaron exactamente once fósforos. Se propone cambiar de posición sólo 4 de ellos de tal manera que se formen 15 cuadrados.

A desparramar un puñado sobre la mesa e intentar resolverlo; o recurrir al papel y lápiz como alternativa si el encendedor es de uso cotidiano en sus casas o no quieran incendiar nada en el intento.

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06/05/2015

RESOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL CARACOL

A la hora de razonar el planteo, es común interpretar que como el caracol asciende 6 metros durante el día y desciende 1,5 metros al dormir, el balance es de 6 – 1,5 = 4,5 metros diarios.
De esta manera le demoraría 15,75 m : 4,5 m/día = 3,5 días. Es decir que partiendo el lunes a las 8 de la mañana debería de llegar el jueves siguiente a las 8 hs + 12 hs (lo que representa el medio día) = 20 hs.

Pero arribar a esta respuesta es evidentemente incorrecto.
Al concluir el tercer día, es decir, el jueves a las ocho de la mañana, el caracol con toda su envidiable paciencia alcanza una altura de 13,5 metros; pero a partir de allí y hasta las 20 horas puede subir otros 6 metros más. En consecuencia, y considerando que la relación de avance es de un metro cada dos horas, recorrer los 2,25 metros que le restan al comenzar el día le demandará cuatro horas y media.
Es por ello que, un poco cansado y con las flores marchitas, el caracol llegará a su cita el jueves a las 12:30 hs.

Si el caracol quedó soltero después de semejante demora será otro tema de discusión; al igual que evaluar la posibilidad de hacerle llegar un calendario y una calculadora al participante que atinó la llegada el día domingo.
A la brevedad se publicará otro planteo como para dedicarle un par de minutos.

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Ψ................PROBLEMA DEL CARACOL................Ψ Un lunes, a las 8 de la mañana, un caracol comienza a subir por u...
30/04/2015

Ψ................PROBLEMA DEL CARACOL................Ψ

Un lunes, a las 8 de la mañana, un caracol comienza a subir por un árbol con intenciones de llevarle un ramo de rosas a su novia que se encontraba en una rama a 15,75 metros de altura. Durante el transcurso del día, es decir, hasta las 20 horas que oscurece, sube hasta una altura de 6 metros (sí, más lento que el tema “Only you”). Luego se duerme, por lo que mientras transcurre la noche baja 1,50 metros. Cuando despierta a las 8 horas del día siguiente repite la acción.

¿Qué día y en qué horario el caracol alcanza la altura de 15,75 metros, a la que se encuentra con su caracola?
Participen y compartan, la resolución se publicará prontamente.

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30/04/2015

RESOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LA PERRA Y LOS CORREDORES

Cuando el camino mas natural de abordar un ejercicio de estas características sería ir sumando las distancias que recorre la mascota conforme se encuentra con cada deportista en su ida y vuelta constante, hay un camino mucho más sencillo de poder resolverlo.

Teniendo en cuenta que la perra estuvo corriendo durante dos horas y media (tiempo tras el cual se encuentran Manolo y Martín dado que corren a 10 kilómetros por hora) basta con relacionar este tiempo con su velocidad durante el recorrido.
Por lo tanto, Wara abarcó una distancia de 37,5 kilómetros (2,5 horas por 15 Km/h).
Felicitaciones a todos los que participaron, tanto a los que acertaron como a los que no, ya que vendrán mas situaciones y planteos para pensar un poco, al menos…

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Despues de la breve reseña histórica sobre el origen y significado de la tan difundida expresión Eureka, dejamos plantea...
21/04/2015

Despues de la breve reseña histórica sobre el origen y significado de la tan difundida expresión Eureka, dejamos planteada una sencilla situación a la cual se le busca una resolución. El objetivo es precisamente que se dediquen 5 minutos (con qué poco nos conformamos) a pensar, "quemarse el bocho" por así decirlo, y de esa manera cada uno llegue a su propio ¡EUREKA!

Manolo y Martín son dos corredores que se encuentran situados en la ciudad de Chascomús, localidad bonaerense, entrenando para una maratón.
Se proponen dar la vuelta a la laguna, que consta de 50 kilómetros de recorrido, partiendo del mismo punto pero en sentidos opuestos.
Wara, mascota de Manolo, lo acompaña durante el transcurso del recorrido con la particularidad que lo hace a una velocidad mayor. Tan mayor que lo adelanta y se encuentra con Martín. Al encontrarse con él, la perra da la vuelta en dirección a su dueño; y así sucesivamente de un lado al otro hasta que ambos corredores se encuentran. Acto seguido los tres paran a descansar.
Si Manolo y Martín corrían a 10 kilómetros por hora, y Wara a 15 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros corrió Wara hasta que se encuentran los maratonistas?

Cabe mencionar que la imagen es de carácter ilustrativo, y que la edición no es una especialidad de la casa. Divulguen y compartan, la resolución se publicará pronto.
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Ψ.......................¡EUREKA!.......................ΨEn el sur de Sicilia, Italia, existe una ciudad milenaria llamad...
08/04/2015

Ψ.......................¡EUREKA!.......................Ψ

En el sur de Sicilia, Italia, existe una ciudad milenaria llamada Siracusa. Hace más de dos mil años vivió allí un hombre extraordinario: Arquímedes. Fue matemático, físico, inventor e ingeniero militar. Si bien la vida de este sabio griego está llena de anécdotas, haremos referencia a la más célebre.
Hierón, tirano de Siracusa, entregó a su orfebre cierta cantidad de oro para realizar una corona para hacerle una ofrenda al dios Júpiter. Una vez recibida la obra terminada, comprobó que la corona tenía el peso del oro entregado, pero el color le inspiró cierta desconfianza pensando que se hubiera reemplazado parte del oro por plata, por lo que consultó a Arquímedes que resolviera su incertidumbre sin destruir la corona.
Cabe mencionar que una de las condiciones impuestas por aquel rey fue que si no resolvía el problema, le cortaba la cabeza.
Un día, mientras tomaba un rutinario baño, logró vincular dos hechos aparentemente inconexos. Es decir, notó que al sumergirse en la tina de baño desplazaba una cantidad de agua igual al volumen de su cuerpo. A partir de allí dedujo que podía comparar los volúmenes desplazados en base a las distintas densidades de los metales, por lo que concluyó que la corona había sido adulterada por cierta cantidad de plata.
Se cuenta que al arribar a tal hallazgo, salio corriendo eufórico por las calles de la ciudad al grito de "¡Eureka! ¡Eureka!" que en griego significa: "¡Lo he encontrado! ¡Lo he encontrado!" con el detalle de hacerlo completamente desnudo.
Dejando de lado no probada pero graciosa maratón nudista, este acontecimiento no solo dejó su cabeza en su lugar (la muerte de Arquímedes también será digna de otro cuento) sino que dio origen al principio que lleva su nombre.

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