16/11/2025
fans
𝗟𝗲 𝗷𝗼𝘂𝗿 𝗼𝘂̀ 𝗻𝗼𝘂𝘀 𝗮𝘃𝗼𝗻𝘀 𝗳𝗲𝗿𝗺𝗲́… 𝗮̀ 𝗹’𝗶𝗻𝗳𝗶𝗻𝗶 [−∞ ,+∞]
Il y a des moments en mathématiques qu’on n’oublie jamais.
Ce jour-là, dans un grand amphi de l’UFR/SEA, un professeur d'Analyse écrit au tableau, avec le calme d’un maître zen :[−∞ ,+∞]
Et là… silence total.
Personne ne respire.
Fermer à l’infini ?
Impossible; Impensable. Interdit presque. 😅
Soudain, un camarade lève la main, sûr de sauver l’honneur de la logique universelle :
« Monsieur, vous avez fait une erreur ! On ne ferme jamais à l’infini ! »
Toute la classe se retourne.
On attend la correction.
On attend que le prof efface.
On attend la justice mathématique…
Eh bien parce que étant au Lycée les enseignants avaient insistés sur le fait de ne jamais fermé à l'infini et certains avaient souvent reçu des punitions même pour cela😅. Mais pourquoi lui il va fermer facilement à l'infini aujourd'hui???
Mais le professeur sourit.
>
Explosion dans la salle.
Des yeux grands ouverts.
Des têtes qui oscillent.
Des murmures comme jamais, dans un amphithéâtre de 500 personnes.
On venait de découvrir que l’infini n’est pas seulement un concept lointain :
c’est un outil, un point, une extension qui permet de comprendre mieux les limites et d’unifier notre vision du réel.
Seul le temps est maître,comme on le dit. Ainsi plus t**d, on comprendra.
𝗠𝗮𝗶𝘀 𝗮𝘂 𝗳𝗮𝗶𝘁, 𝗽𝗼𝘂𝗿𝗾𝘂𝗼𝗶 𝗳𝗲𝗿𝗺𝗲-𝘁-𝗼𝗻 𝗮̀ 𝗹’𝗶𝗻𝗳𝗶𝗻𝗶 ?
Parce que dans certains domaines :
les limites,
les fonctions monotones,
les probabilités extrêmes,
la théorie de la mesure et de la distribution,
l’analyse fonctionnelle où R̅ est même compact et métrisable,
…on a besoin d’un espace où les choses sont complètes, où rien ne s’échappe, même pas l’infini.
Fermer à l’infini permet :
✔ d’éviter certaines ambiguïtés,
✔ de formaliser les limites qui “tendent vers l’infini”,
✔ de faciliter des démonstrations,
✔ de faire naître des idées qui n’existent pas sur ℝ tout seul.
Mais tous cela reste dans la logique mathématique.
𝗔𝗹𝗼𝗿𝘀 𝗽𝗼𝘂𝗿𝗾𝘂𝗼𝗶 ça 𝗰𝗵𝗼𝗾𝘂𝗲 𝗹𝗲𝘀 𝗹𝘆𝗰𝗲́𝗲𝗻𝘀 ?
Parce qu’au lycée, l’infini est un horizon :
on ne l’atteint jamais, on ne le touche jamais.
On dit même : « l’infini n’est pas un nombre ».
Mais à l’université, à un certain niveau de rigueur, les mathématiques changent de visage :
on enrichit ℝ.
On élargit les frontières.
On achève la droite d'où le nom de 𝗱𝗿𝗼𝗶𝘁𝗲 𝗿𝗲́𝗲𝗹𝗹𝗲 𝗮𝗰𝗵𝗲𝘃𝗲́𝗲,n'oublie pas ce nom😊. Compris ?
D'accord, ainsi l’infini devient un outil logique, presque un personnage que l’on peut manipuler.
𝗔𝘂 𝗳𝗶𝗻𝗮𝗹 : 𝗽𝗼𝘂𝗿𝗾𝘂𝗼𝗶 𝗮𝘃𝗼𝗻𝘀-𝗻𝗼𝘂𝘀 𝗳𝗲𝗿𝗺𝗲́ 𝗮̀ 𝗹’𝗶𝗻𝗳𝗶𝗻𝗶 ?
Ceci n'enlèves pas aux mathématiques leurs valeurs ?
NON!
Parce que certaines questions n’ont de sens que dans cet espace élargi.
Certaines limites n’existent que sur ℝ ∪ {±∞}.
Certains théorèmes ne deviennent vrais que quand on accepte d’ajouter ces deux “points” hors du monde réel.
Cela ne denature pas la logique des mathématiques et ne la rend pas obsolète.
Et c’est là que les mathématiques deviennent fascinantes :
elles nous montrent que parfois, pour comprendre le fini,
il faut accepter l’infini.
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