Caravana da Matemática - UFJF

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Caravana da Matemática - UFJF

A Caravana da matemática é um projeto de extensão da UFJF que leva atividades de divulgação matemática a escolas de Juiz de Fora e região.

10/06/2026

Hoje é 10 de junho, o 161º dia do ano.

Observe que:

161 = (1+6) × [16+(1+6)]

Você consegue encontrar outra forma de obter 161 usando apenas os algarismos 1 e 6?

Vale usar qualquer operação matemática que você quiser, parênteses e quantos 1s e 6s forem necessários. Compartilhe sua solução nos comentários!

10/06/2026

Em 18 de maio, a Caravana da Matemática visitou a Escola SESI Granbery a convite do professor de matemática Davi Fiuza, que foi nosso primeiro bolsista do projeto lá em 2018.

Os 6os anos puderam experimentar várias atividades de matemática recreativa e exercitar suas habilidades de raciocínio lógico e pensamento matemático. Obrigada pela recepção, Escola SESI!

Em 2026, a Caravana da Matemática está participando do projeto SBPC vai à Escola da .

10/06/2026

Hoje é 9 de junho, o 160º dia do ano.

Existem exatamente 160 poliminós triangulares formados por 9 triângulos equiláteros congruentes.

Os poliminós triangulares são análogos aos poliminós usuais: em vez de quadrados, são construídos unindo triângulos equiláteros de lado unitário ao longo de arestas inteiras. Figuras obtidas por rotação ou reflexão não são consideradas diferentes, mas furos são permitidos.

Com 1, 2 ou 3 triângulos, existe apenas um poliminó triangular possível. Com 4 triângulos, já existem 3 formas distintas.

Prosseguindo dessa maneira, o número de poliminós triangulares formados por n triângulos é:
1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, 448, 1186, 3334, ... (OEIS A000577)

09/06/2026

Hoje é 8 de junho, o 159º dia do ano.

Os números pentagonais são números figurados obtidos pela sobreposição dos contornos de pentágonos regulares que compartilham um mesmo vértice.

Por exemplo, o terceiro número pentagonal é 12: ao sobrepor pentágonos com 1, 5 e 10 pontos, alguns pontos coincidem e restam exatamente 12 pontos distintos.

Para calcular o n-ésimo número pentagonal, podemos usar a fórmula
Pₙ = (3n² − n)/2. Então, os primeiros números pentagonais são:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, … (OEIS A000326)

Somando números pentagonais distintos podemos obter quase todos os inteiros positivos. Por exemplo:
6 = 1 + 5
39 = 5 + 12 + 22
158 = 1 + 12 + 145

Existem exatamente 61 números que não podem ser obtidos dessa forma, como 2, 3 e 4. O maior deles é justamente o 159 (OEIS A121405). Daí pra frente, todo inteiro pode ser escrito como soma de números pentagonais distintos.

08/06/2026

Ontem foi 6 e hoje é 7 de junho, os dias 157 e 158 do ano.

Os quadrados de 157 e 158 têm exatamente os mesmos dígitos, com as mesmas multiplicidades, isto é, um é uma permutação do outro:

157² = 24649
158² = 24964

Esse é apenas o segundo par de inteiros positivos consecutivos com essa propriedade. O primeiro é:

13² = 169
14² = 196

O próximo par é:

913² = 833569
914² = 835396

A sequência de pares desse tipo é infinita (OEIS A072841). Por exemplo, para todo k ≥ 1, o par formado por 5500×10ᵏ − 87 (isto é, 54913, 549913, 5499913, ...) e seu sucessor tem essa propriedade. Ou seja, há pelo menos um par para cada novo número de dígitos.

07/06/2026

Hoje é 6 de junho, o 157° dia do ano.

Você sabia que é possível construir um triângulo retângulo com lados de medidas racionais e área 157?

Pensando assim rapidamente, você pode dizer: ah, não deve ser difícil achar 2 racionais com produto 234 de forma que o triângulo que é metade desse retângulo tenha área 157. Mas, espera lá: você precisa que a raiz da soma dos quadrados desses racionais seja ainda racional! Ok, não parece tão simples agora, certo?

Em 1993, Don Zagier encontrou o triângulo da figura, cuja área é exatamente 157. Ele usou técnicas sofisticadas de curvas elípticas combinadas com muito poder computacional.

157 é, portanto, um exemplo de inteiro positivo n que pode ser a área de um triângulo retângulo com todos os lados racionais. Outros exemplos, mas não os únicos, são 5, 6, 7, 30. Você consegue encontrar triângulos com essas áreas e essas condições?

Decidir quais números podem ser área de tais triângulos não é simples. Existe um resultado de Tunnell de 1983 que apresenta uma condição para que um número n não esteja nessa lista: basta que a quantidade de triplas (x,y,z) inteiras satisfazendo 8x²+2y²+64z²=n não seja o dobro da quantidade de triplas inteiras satisfazendo 8x²+2y²+16z²=n. Por exemplo, para n=1, essas 2 equações tem exatamente 2 soluções, o que significa que não existe triângulo retângulo de área 1 e lados racionais.

04/06/2026

Ontem foi 3 de junho, o 154º dia do ano.

Entre todos os números primos menores que 10 milhões, a maior lacuna entre primos consecutivos é 154. Ela ocorre entre os primos 4.652.353 e 4.652.507. Isso significa que há uma sequência de 153 números compostos consecutivos entre eles, sem que apareça nenhum número primo.

04/06/2026

Hoje é 4 de junho, o 155º dia do ano.

Os números 155² + 155 − 1 = 24.179 e 155² + 155 + 1 = 24.181 são primos gêmeos, ou seja, dois números primos cuja diferença é 2.

Embora existam infinitos números primos, ninguém sabe se existem infinitos pares de primos gêmeos. Curiosamente, muitos desses pares aparecem na forma n² + n ± 1.

Na sequência OEIS A088485, que reúne os valores de n para os quais n² + n − 1 e n² + n + 1 são ambos primos, o número 155 é o 22º termo. Já o 155º par de primos gêmeos dessa forma é dado por 4158² + 4158 − 1 e 4158² + 4158 + 1.

02/06/2026

Hoje é 2 de junho, o 153° dia do ano.

O 153 é um número narcisista pois 153 = 1³ + 5³ + 3³. Em geral, chamamos de narcisista um número inteiro de n dígitos que é igual à soma das n-ésimas potências de seus dígitos. Existem exatamente 4 números narcisistas com 3 dígitos:

153 = 1³ + 5³ + 3³
370 = 3³ + 7³ + 0³
371 = 3³ + 7³ + 1³
407 = 4³ + 0³ + 7³

Além desses e dos números de 1 dígito, existem poucos números narcisistas. São exatamente 88, sendo o maior deles de 39 dígitos (Winter, 1985).

Mas o 153 é o mais especial!

- Escolha um múltiplo de 3.
- Some os cubos de seus dígitos.
- Depois de algumas repetições desse processo, você sempre chegará em 153.

Por exemplo:
72 → 7³ + 2³ = 351 → 3³ + 5³ + 1³ = 153

Outros números podem levar mais passos, mas o processo sempre chega em 153:

45 → 189 → 1242 → 81 → 513 → 153
243 → 99 → 1458 → 702 → 351 → 153

Quer entender por que isso funciona? A Caravana te ajuda.

O cubo n³ de qualquer algarismo n deixa o mesmo resto na divisão por 3 que n (esse é um caso especial do conhecido Pequeno Teorema de Fermat).

Assim, ao somar os cubos dos algarismos de um número que é múltiplo de 3, obtemos um número múltiplo de 3.

Como o 153 é o único número narcisista de 3 dígitos que é múltiplo de 3, em algum momento, o processo chega nele.

01/06/2026

Hoje é 1º de junho, o 152º dia do ano.

152 dividido por 1+5+2=8 é igual a 19, que é um número primo.

Números que, ao serem divididos pela soma de seus dígitos, resultam em um primo são chamados de números de Moran (OEIS A001101). Entre os dias do ano, há 28 números de Moran:

18, 21, 27, 42, 45, 63, 84, 111, 114, 117, 133, 152, 153, 156, 171, 190, 195, 198, 201, 207, 209, 222, 228, 247, 261, 266, 285 e 333.

Ninguém sabe, no entanto, se existem infinitos números de Moran.

Endereço

Universidade
Juiz De Fora, MG

Site

http://www.ufjf.br/caravanadamatematica

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