Caravana da Matemática - UFJF

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Caravana da Matemática - UFJF

A Caravana da matemática é um projeto de extensão da UFJF que leva atividades de divulgação matemática a escolas de Juiz de Fora e região.

12/05/2026

Hoje, 12 de maio, celebramos o Dia Internacional das Mulheres na Matemática.

A data foi escolhida em 2018 em homenagem ao aniversário de Maryam Mirzakhani (12/05/1977 – 14/07/2017), matemática iraniana que se tornou, em 2014, a primeira mulher a receber a Medalha Fields.

Essa é uma oportunidade para a comunidade matemática reconhecer e homenagear as conquistas das mulheres na matemática, tanto do passado quanto do presente. Mais ainda, este dia é um momento de lembrar que a história da matemática foi construída por muitas mulheres cujas contribuições nem sempre receberam o reconhecimento merecido.

Hoje nos reconhecemos em Hipátia de Alexandria, Ada Lovelace, Maria Gaetana Agnesi, Emmy Noether, Sophie Germain, Maria Laura Mouzinho Leite Lopes, Maryam Mirzakhani, Katherine Johnson, Karen Uhlenbeck, Maryna Viazovska, Carolina Araújo, Elza Furtado Gomide, Marília Chaves Peixoto e tantas outras mulheres que inspiram novas gerações de pesquisadoras, professoras e estudantes.

12/05/2026

Ontem foi 10 e hoje é 11 de maio, os dias 130 e 131 do ano.

Pense em um inteiro n>0 e faça o seguinte algoritmo: troque n por 3n+1, se n for ímpar, ou por n/2, se n for par.

Repita o processo com o novo número e assim por diante.

A Conjectura de Collatz afirma que sempre se chega ao número 1, independentemente do número inicial. Lothar Collatz (1910–1990) propôs essa conjectura em 1937. Quase 90 anos depois, ninguém conseguiu provar ou refutar essa afirmação, mas os te**es computacionais feitos até 2⁷¹ sempre alcançam 1.

Um fato é que o comportamento das trajetórias varia muito.

Por exemplo, os números consecutivos 26 e 27 têm comportamentos completamente diferentes. O 26 chega rapidamente a 1 em apenas 10 passos:

26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Já o 27 leva 111 iterações e sobe até 9232 antes de finalmente chegar a 1.

Por outro lado, 130, 131, 132, 133 e 134, que também são consecutivos, chegam a 1 após exatamente 28 iterações (OEIS A078417).

Curiosamente, as trajetórias do 130 e do 131 se encontram no número 148 e, a partir daí, seguem exatamente iguais até 1. O 132, o 133 e o 134, no entanto, não têm trajetórias passando por esse mesmo caminho.

Essa aparente falta de padrão provavelmente é um dos principais motivos pelos quais esse problema ainda não foi resolvido.

10/05/2026

Ontem foi 9 de maio, o 129° dia do ano. O número 129 é a menor soma de 2 sétimas potências: 129=1⁷+2⁷. Além disso, é um múltiplo de 3.

Isso não é uma coincidência! Todo inteiro do tipo 1ⁿ+2ⁿ com n ímpar é divisível por 3. Veja: 1¹+2¹=3, 1³+2³=9, 1⁵+2⁵=33, 1⁹+2⁹=513...

Por que será que isso acontece? Vamos tentar entender!

Todos os inteiros podem ser separados em 3 tipos de números: os múltiplos de 3, os que deixam resto 1 na divisão por 3 e os que deixam resto 2. Vamos olhar pra esses últimos. Se o resto na divisão por 3 é 2, podemos escreve-los como n=3k+2=3(k+1)-1. Assim, tais números são 1 a menos que um múltiplo de 3. Então, todos os inteiros são separados em 3 conjuntos que vamos representar por 0*, 1* e -1*. Veja que 1 está no conjunto 1* e 2 está no conjunto -1*.

Agora, o que acontece quando somamos um número do conjunto 1* e um do conjunto -1*? Bem, estamos somando 3q+1 com 3(k+1)-1, ou seja, 3q+1+3(k+1)-1=3(q+k+1). Assim, obtemos um múltiplo de 3. Estamos dizendo basicamente que 1*+(-1*)=0*, ou seja, podemos fazer a conta como se fossem os números-1, 1 e 0. O fato de que podemos somar e multiplicar números pensando nos conjuntos aos quais pertencem é o ponto crucial da solução do nosso problema.

Se um número é 1ⁿ+2ⁿ, então é 1+2ⁿ. Trocando pra linguagem dos conjuntos 0*, 1* e -1*, temos (1*)ⁿ+(-1*)ⁿ= 1*+(-1*)ⁿ. Agora, como n é ímpar, podemos escrever n=2m+1 e, assim: (-1*)ⁿ= (-1*)²ᵐ⁺¹=(-1*)²ᵐ×(-1*)=(1*)×(-1*)=-1*. Daí, chegamos na soma 1*+(-1*)=0* e concluímos que o número 1ⁿ+2ⁿ com n ímpar é divisível por 3.

Isso tudo é uma pequena amostra do que chamamos de aritmética modular, uma parte da teoria dos números que estuda propriedades dos números inteiros a partir da separação deles de acordo com o resto na divisão por algum n. Gostou? Curte e manda pra um amigo!

08/05/2026

Hoje é 8 de maio, o 128º dia do ano.

A primeira sétima potência não nula é 1⁷ = 1.

Em seguida, vem 128 = 2⁷. Assim, não existe nenhuma sétima potência com 2 dígitos.

Como 3⁷ = 2187, então 128 é a única sétima potência com 3 dígitos. Aliás, 2187 é também a única com 4 dígitos, já que 4⁷ = 16384 possui 5 dígitos.

A partir daí, porém, a situação muda: toda quantidade de dígitos passa a aparecer em pelo menos duas sétimas potências.

07/05/2026

Hoje é dia 7 de maio, o 127º dia do ano.

Primos de Mersenne são primos da forma 2ⁿ−1. Um exemplo é o 127, já que 127 = 2⁷−1.

Outro exemplo é o número de 39 dígitos 2¹²⁷−1. Dizem que Édouard Lucas (1842–1891) levou 19 anos para provar, à mão, que esse número é primo. Se esse tempo é verdade ou não, nunca saberemos, mas o fato é que ele foi o primeiro a publicar esse resultado, em 1876.

Em vez de usar divisões sucessivas por números menores, Lucas criou uma sequência numérica específica para testar números de Mersenne. Depois, em 1930, Derrick Lehmer (1905–1991) demonstrou rigorosamente por que o método funciona e, hoje, ele é conhecido como teste de Lucas–Lehmer. Esse ainda é o principal método para testar a primalidade de números de Mersenne.

Basicamente, o teste começa com a sequência 4, 14, 194, …, em que cada termo aₙ é o resto da divisão de aₙ₋₁²-2 por 2ᵖ−1. Nesse caso, 2ᵖ−1 é primo exatamente quando o termo de posição p−1 da sequência é divisível por 2ᵖ−1.

Por exemplo, para 127 = 2⁷−1, começamos com a₁ = 4 e calculamos sucessivamente os restos de aₙ₋₁²−2 na divisão por 127. Assim, obtemos a₂ = 14, a₃ = 67, a₄ = 42 e a₅ = 111. Como 111²−2 = 12319 é múltiplo de 127, segue que 127 é primo.

Ao que se sabe, 2¹²⁷−1 continua sendo o maior número primo cuja primalidade foi comprovada inteiramente sem auxílio de computadores.

Depois da descoberta de Lucas, ainda foram encontrados outros primos de Mersenne sem uso de computadores, mas todos menores que 2¹²⁷−1.

Nos anos 1950, os computadores passaram a ser a principal ferramenta para te**es de primalidade. Em 1952, cinco primos de Mersenne com entre 314 e 1373 dígitos foram descobertos computacionalmente.

Atualmente, todos os maiores números primos conhecidos são de Mersenne. No total, são conhecidos 52 primos desse tipo. O maior deles, descoberto em 2024, possui 41.024.320 dígitos.

Fontes:
https://www.mersenne.org
https://www.scientificamerican.com/article/how-to-identify-a-prime-number-without-a-computer/

07/05/2026

Ontem foi 6 de maio, o 126º dia do ano.

Em um ano não bissexto, existem exatamente 126 dias “primos”, isto é, dias em que o número do dia do mês é primo.

Os números primos possíveis para representar um dia do mês são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 e 31.

Agora basta contar quantas vezes esses dias aparecem ao longo do ano.

Os dias 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23 aparecem em todos os 12 meses: 9 × 12 = 108.

O dia 29 aparece em todos os meses, exceto fevereiro: 11 vezes.

O dia 31 aparece apenas em 7 meses: 7 vezes.

Assim, o total é:
108 + 11 + 7 = 126.

06/05/2026

Hoje, 6 de maio, é comemorado o Dia Nacional da Matemática. A data foi escolhida por ser o nascimento de Júlio César de Mello e Souza (1895 - 1974), que foi um escritor, educador e divulgador de matemática brasileiro mais conhecido por seu pseudônimo árabe, Malba Tahan. Com esse pseudônimo, foi o maior divulgador de matemática do Brasil, tendo escrito mais de uma centena de livros de contos e didáticos que abordavam a matemática de uma forma divertida e diferente. É, com certeza, uma inspiração para todos que trabalham pela popularização da matemática no país.

Júlio César estudou a língua e a cultura árabes por anos para inventar a biografia de Malba Tahan e para que seus contos fossem convincentes em termos de estilo, linguagem e ambientação. Sua obra mais conhecida, “O homem que calculava”, é uma coleção de desafios sob a forma de narrativa das aventuras de um calculista persa chamado Beremiz.

A atuação de Júlio César foi muito além da sala de aula. Além de publicar mais de 100 livros, ele deu palestras e cursos para professores em mais de 200 cidades brasileiras. Ainda, participou de programas de rádio e TV e criou uma revista. É uma inspiração para todos que trabalham pela popularização da matemática no país!

05/05/2026

Hoje é 5 de maio, o 125º dia do ano.

O número 125 é um número de Friedman, pois pode ser obtido através de operações simples usando cada um de seus dígitos exatamente uma vez:

125 = 5²⁺¹

As operações admitidas são soma, produto, subtração, divisão, concatenação e potenciação. Outros exemplos de números de Friedman são (OEIS A036057):

25 = 5² 121 = 11² 343 = (3+4)³ 347 = 7³ + 4

O nome Friedman vem do matemático Erich Friedman, que apresentou esses números em agosto de 2000. Alguns anos depois, Ron Kaminsky provou que existem infinitos números de Friedman e, em 2013, Michael Brand provou que eles têm densidade 1. Isso quer dizer que, conforme olhamos números cada vez maiores, quase todos acabam sendo números de Friedman.

Erich Friedman é um matemático norte-americano nascido em 1965 e conhecido por seu trabalho em matemática recreativa, especialmente em problemas de combinatória, geometria e quebra-cabeças matemáticos. Apesar de ter se aposentado das aulas na Universidade de Stetson, ele ainda mantém um site com centenas de problemas abertos de matemática recreativa, muitos deles visualmente simples, mas difíceis de resolver.

04/05/2026

Hoje é 4 de maio, o 124º dia do ano.

124 é o menor número natural cujos três primeiros múltiplos inteiros positivos contêm o dígito 2:
124 × 1 = 124 124 × 2 = 248 124 × 3 = 372

Isso pode ser verificado rapidamente com o auxílio de um computador, começando por eliminar os números que não têm o dígito 2 e verificando o dobro e o triplo dos que restarem.

Você pode ainda conferir que apenas mais 5 dias do ano têm essa propriedade: 142, 214, 241, 264 e 276.

04/05/2026

Hoje é 3 de maio, o 123° dia do ano.

O 123 tem uma propriedade interessante: a soma de seus dígitos é igual ao produto de seus dígitos. De fato, 1+2+3 = 1×2×3.

Dessa igualdade, aparece outra, agora envolvendo logaritmos:
log(1+2+3) = log(1) + log(2) + log(3).

Aqui, vale lembrar que log(n) é o número ao qual devemos elevar a base 10 para obter n.

Em geral, não é verdade que
 log(a+b+c) = log(a) + log(b) + log(c),
 mas, nesse caso específico, dá certo. Vamos ver o porquê.

Como ao multiplicar potências somamos os expoentes, o logaritmo transforma produto em soma: log(a×b) = log(a) + log(b).

Assim, log(1) + log(2) + log(3) = log(1×2×3).

Mas, como 1+2+3 = 1×2×3, temos
log(1) + log(2) + log(3) = log(1×2×3) = log(1+2+3).

Chique, né?

Ah, um detalhe: usamos aqui o logaritmo na base 10, mas isso funciona em qualquer base positiva diferente de 1.

03/05/2026

Hoje é 2 de maio, o 122º dia do ano.

2 de maio é 2/5 e, olha que beleza, 122 é igual à soma dos fatoriais de 2 e 5: 122 = 2! + 5!.

Coincidência ou não, usando a codificação A1Z26 (A = 1, B = 2, …, Z = 26) e somando os valores de cada letra, SHAKIRA DO SAMBA vale exatamente 122.

O que isso quer dizer? Nada! Mas vamos curtir o show!

Endereço

Universidade
Juiz De Fora, MG

Site

http://www.ufjf.br/caravanadamatematica

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