Departamento de Matemática, Universidade de Évora

02/06/2017

15/02/2017

Este encontro serve para homenagear a memória da Professora Graça Carita, natural de Nisa, que faleceu de forma prematura em setembro de 2016. Ao longo da sua vida académica a Professora Graça Carita destacou-se não só como aluna, como docente da Universidade de Évora, mas ainda como investigadora d...

01/02/2017

Na sequência das iniciativas das Reitorias da Universidade de Évora e da Universidad de Extremadura, e dos contactos estabelecidos entre os departamentos de Matemática em ambas as instituições, decorreu no dia 30 de Janeiro de 2017, no Colégio do Espírito Santo, “II Joint Meeting Evora-Extremadura on Mathematics”.

04/11/2016

O INE, Instituto Nacional de Estatística, é responsável por produzir e divulgar informação estatística nacional. Atualmente está a recrutar.

20/06/2016

As abelhas são “óptimas matemáticas”

Como é do conhecimento da maioria das pessoas, os alvéolos dos favos das abelhas têm o formato hexagonal. Qual é explicação para tal facto?
Uma vez que os alvéolos são feitos de cera, que elas próprias fabricam, interessa às abelhas que o formato dos mesmos seja o mais económico possível - ou seja, interessa-lhes maximizar o volume dos alvéolos (por forma a terem uma grande capacidade de armazenamento) e minimizar a quantidade de material e de energia utilizados na sua construção. Como resolvem as abelhas este problema?
Se a parede de um alvéolo também for parede do alvéolo do lado, então minimizar-se-á a quantidade do material utilizado. Portanto, o alvéolo não poderá ter uma forma cilíndrica, pois nesse caso não existiriam paredes comuns e consequentemente haveria um desperdício de material (e de espaço). Assim sendo, os alvéolos deverão ter uma forma prismática, com paredes comuns.
Os únicos polígonos regulares (isto é, com os lados todos com o mesmo comprimento e os ângulos internos todos com a mesma amplitude) que podem ser unidos sem deixar espaços entre eles são o triângulo, o quadrado e o hexágono. De facto, para pavimentar o plano usando polígonos regulares e geometricamente iguais sem que haja espaços abertos ou sobreposições, é necessário que a soma dos ângulos internos em torno de cada vértice seja 360 graus. A questão agora é: qual dos três prismas - triangular, quadrangular ou hexagonal - com a mesma área lateral e a mesma altura tem maior volume?
Suponhamos então que as áreas laterais e as alturas dos três prismas são iguais. Como a área lateral é dada pela fórmula perímetro x altura, concluímos que as bases desses prismas são necessariamente polígonos com o mesmo perímetro que designaremos por p. Por outro lado, o volume de um prisma regular é dado por (área da base) x altura. Portanto o problema reduz-se a determinar qual dos polígonos - triângulo, quadrado ou hexágono com igual perímetro - tem a maior área.
Sejam t, q e h as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo, do quadrado e do hexágono, respectivamente. Uma vez que o perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos dos seus lados, temos p=3t=4q=6h. Logo t=p/3, q=p/4 e h=p/6.
Calculando as áreas pretendidas, obtemos:
• área do triângulo = (base x altura) / 2 = p x p x [ (raiz quadrada de 3) / 36 ]
aproximadamente igual a 0,05 x p x p
• área do quadrado = lado x lado = p x p x [ 1 / 16 ]
aproximadamente igual a 0,06 x p x p
• área do hexágono = (número de lados) x lado x apótema / 2
= p x p x [ (raiz quadrada de 3) / 24 ]
aproximadamente igual a 0,07 x p x p.
Verif**amos então que o polígono com maior área é o hexágono e consequentemente o prisma hexagonal é aquele que tem maior volume.

Esta crónica não foi escrita ao abrigo do novo Acordo Ortográfico.

Clara Carlota, Departamento de Matemática, Escola de Ciências e Tecnologia, Universidade de Évora
Sílvia Chá, Academia da Força Aérea, Doutorada em Matemática pela Universidade de Évora

20/06/2016

Raiz quadrada à mão! (Parte II)

No último texto, em Julho de 2015, relembrámos um método para calcular a raiz quadrada de um número inteiro positivo. Neste texto, veremos como se procede quando pretendemos a extracção da raiz quadrada de um número positivo não inteiro. Antes, convém relembrar qual o signif**ado de raiz quadrada: a raiz quadrada de um número positivo X, é um número Y tal que 〖Y*Y=Y〗^2=X, ou seja, Y=√X. Por exemplo, 2=√4 porque 2*2=2^2=4. Hoje em dia qualquer máquina de calcular tem a funcionalidade do cálculo da raiz quadrada. Porém, no caso de não ser possível o acesso a um equipamento deste género, como podemos calcular a raiz quadrada de um número à mão? Mostraremos um procedimento através do cálculo da √152,28.

ETAPA 1: Escrever o número 152,28 em grupos de 2 dígitos da direita para a esquerda (células 1A-1C) numa tabela com o formato da Tabela 1, sem esquecer de colocar a vírgula no local certo.

ETAPA 2: Ter em conta o primeiro conjunto de dígitos (célula 1A) e encontrar o maior número a tal que a^2≤ 1, ou seja, encontrar o maior número que multiplicado por ele próprio seja inferior ou igual ao primeiro conjunto de dígitos. Neste caso, a única possibilidade é o 1 pois 1*1≤ 1. Nas células 1D e 2D coloca-se o número obtido. Na célula 2A coloca-se o mesmo número mas com um sinal menos. Efectua-se a soma das células 1A com 2A, colocando-se o resultado em 3A e ‘baixa-se’ o conjunto de dígitos seguinte (célula 3B).

ETAPA 3: Na célula 3D+3E coloca-se o dobro do número colocado na célula 1D, ou seja, coloca-se o número 2. De seguida deve-se encontrar o maior número b tal que 2b*b≤52. Por exemplo, se b=3 tem-se 23*3=69 > 52. Mas, se b=2 tem-se 22*2=44 828. Mas, se c=3 tem-se que 243*3=729≤828. Assim, escolhe-se c=3 e escreve-se 3 na célula 1F e 243*3=729 na célula 5D+5E+5F. O valor 729 é depois colocado com sinal menos na célula 6B+6C. Efectua-se a soma das células 5B+5C e 6B+6C, colocando-se o resultado na célula 7C.

Obtivemos assim a raiz quadrada do número 152,28 com uma casa decimal. Podemos continuar os passos anteriores quantas vezes quisermos de modo a aumentarmos o número de casas decimais. Deixo uma dica para o leitor: o próximo dígito é o 4, ou seja, a raiz quadrada de 152,28 com duas casas decimais é 12,34. Bons cálculos e até à próxima!

Nuno Miguel Brites, [email protected], Aluno do Programa de Doutoramento em Matemática, Departamento de Matemática, Escola de Ciências e Tecnologia, Universidade de Évora

20/06/2016

A Matemática e as finanças – Parte II

Nesta crónica procurarei explicar, no seguimento da crónica anterior e através de exemplos, como funciona sistema de capitalização de juros simples e de juros compostos.
Vejamos, em primeiro lugar, um exemplo relativo a um regime de os juros compostos. Suponhamos que investimos 500€ num depósito que paga uma taxa de juro composta de 3% ao ano. Assim, no final de um ano o nosso saldo será 500 × 1.03 = 515€, então o banco considerará esta nova quantia como o novo capital, o qual será reinvestido à mesma taxa de juro. Donde, no final do segundo ano o nosso saldo será 515 × 1.03 = 530.45€ e no final do terceiro ano teremos 530.45 × 1.03 = 546.36€, e assim sucessivamente. Portanto, isto signif**a que o nosso saldo cresce de acordo com uma progressão geométrica de razão 1.03.
Em contrapartida, se investirmos a quantia de 500€ a uma taxa de juro simples de 3%, então o saldo aumentará a cada ano sempre o mesmo valor, ou seja, 15€, dado que a taxa anual é apenas aplicada ao capital inicial. Como tal, em cada ano o saldo crescerá de acordo com uma progressão aritmética de razão 15, portanto, em cada ano o nosso saldo será 515€, 530€, 545€ e assim sucessivamente.
Ano 1º ano 2.º ano 3.º ano
taxa de juro simples de 3% 515€ 530.00€ 545.00€
taxa de juro composta de 3% 515€ 530.45€ 546.36€

Consequentemente, comparando os valores dos saldos obtidos nos dois regimes, concluímos que, após certo tempo, a quantia investida a uma taxa de juro composta cresce mais rapidamente do que se for investida a uma taxa de juro simples, independentemente da taxa aplicada.
Será que existe uma fórmula matemática que generalize este exemplo?
A resposta é sim. Vejamos como, suponhamos que investimos um capital de C euros num depósito que paga r % de taxa de juros compostos ao ano. Isto signif**a que o saldo será C(1+r), no final do primeiro ano, C(1+r)2, no final do segundo ano e assim sucessivamente até que depois de t anos o saldo obtido será C(1+r)t. Designado por S esta quantia, tem-se
S = C(1+r)t
que é a fórmula usada para todos os cálculos financeiros, aplicando-se a contas bancárias, empréstimos, hipotecas e anuidades.
Contudo, no sistema bancário existem diferentes tipos de composição de juros, nomeadamente anual, semestral, trimestral, semanal e até diário. Assim, suponhamos que a composição é feita n vezes ao ano e que para cada “período de conversão” o banco usa a taxa de juro anual dividida por n, ou seja, r/n. Como em t anos existem nt períodos de conversão, um capital de C euros, após t anos, renderá
S = C(1+r/n)nt.
Será interessante comparar a rentabilidade que um capital inicial de 500€ terá no final de um ano para diferentes períodos de conversão, usando a taxa de juro anual de, por exemplo, 3%.
Lanço esse desafio ao leitor, sugerindo que use uma calculadora que tenha uma tecla exponencial, ou seja, a tecla “yx”.

Ana Isabel Mendes dos Santos
Professora no Departamento de Matemática, Escola de Ciências e Tecnologia, Universidade de Évora

20/06/2016

A Matemática e as finanças – Parte I

Hoje, tal como sempre, as questões financeiras são uma das grandes preocupações da nossa vida. Diariamente ouvimos notícias sobre empréstimo, subidas ou descidas de taxas de juros, juros da divida pública, etc.
De facto, a prática de cobrar uma taxa sobre o dinheiro emprestado é milenar, bem como a obtenção de independência financeira através da acumulação de riqueza. Podemos encontrar referência a estas questões na literatura matemática da antiguidade, como é exemplif**ativo o seguinte problema, que consta de uma placa de argila da Mesopotâmia datada de 1700 a.C. e que se encontra no museu do Louvre:
“quanto tempo demorará uma quantidade de dinheiro a duplicar se for investida a uma taxa de 20 por cento de juros compostos anualmente?”.
Para resolver este problema, formulemo-lo em linguagem simbólica. Note-se que no final de cada ano a quantia cresce 20%, ou seja, o correspondente a um fator de 1.2, portanto, ao fim de x anos, a quantia terá crescido 1.2x. Como este valor terá que ser igual ao dobro da quantia inicial, então obtém-se a equação 1.2x = 2 (que não depende da quantia inicial). Agora, há que resolver a equação em ordem a x, para tal usamos logaritmos, coisa que os babilónicos não tinham. Contudo, conseguiram obter uma solução aproximada observando que x teria de ser um valor entre 3 e 4, uma vez que 1.23 = 1.728 e 1.24= 2.0736. Para reduzir o intervalo, por forma a encontrar o valor pretendido, usaram o método de interpolação linear, que corresponde a encontrar um número que divide o intervalo de 3 a 4 na mesma razão em que 2 divide o intervalo de 1.728 a 2.0736. O que conduz a uma equação linear em x, cuja resolução não foi certamente nada fácil para os babilónicos, tendo em conta as técnicas de que disponham naquela época. Contudo, a solução do problema que consta na placa de argila é 3;47,13,20 (valor escrito no sistema sexagesimal utilizado pelo babilónicos), que corresponde a 3 + 47/60 + 13/602 + 20/603, ou seja, aproximadamente 3.7870. Este valor está bastante próximo do valor correcto que é 3.8018, ou seja, cerca de 3 anos, 9 meses e 18 dias.
Quando investimos uma determinada quantia, podemos optar por um de dois regimes para a capitalização dos juros que vamos receber: juros simples ou juros compostos.
No sistema de capitalização de juros simples o juro de cada intervalo de tempo é calculado apenas sobre o capital inicial, enquanto que no sistema de juros compostos o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
Na segunda parte desta crónica explicarei, através de exemplos, o que distingue estes dois sistemas de capitalização de juros.

Ana Isabel Santos
Professora no Departamento de Matemática, Escola de Ciência e Tecnologia, Universidade de Évora

06/06/2016

A CONTAS COM A GEOMETRIA (I)

Imagine-se, por absurdo, que fazíamos uma fila indiana com todos os cidadãos do mundo. Todos os homens e mulheres alinhados por ordem alfabética do nome. Uma linha muito comprida, a perder de vista, um conjunto “infinito” com os cidadãos todos postos por ordem do nome. Essa é, mais ou menos, a ideia que se pode fazer do conjunto de números reais, a recta real, R, que inclui inteiros e fracções e muito mais. Sim, os números são a perder de vista e estão todos colocados em ordem, nenhum sendo mais importante que outro. Todos têm um nome e um lugar. Por exemplo, os números 43

06/06/2016

As letras na Matemática – culpa dos espanhóis!

A maioria das pessoas não gosta de matemática. Alguns dizem: “Até não desgosto mas … quando começaram a misturar letras com números, aí é que foi, deixei de perceber.” Outros também afirmam: “Nunca percebi aquilo das equações, o x junto com os números, e depois passa para o outro lado … muito confuso.”
Para desmistif**ar um pouco a coisa digo sempre que uma equação é um bicho matemático que tem um sinal de igual e pelo menos uma letra – a incógnita. Essa letra é normalmente o x.
As letras apareceram na matemática para representar coisas. O matemático é um ser muito poupadinho, quanto menos escrever melhor.
Sabia que a escolha do x não teve nada a ver com a matemática mas sim com a fonética?
Em 2012 Terry Moore conseguiu resumir tudo numa palestra TED. Terry descobriu que tudo começou com um problema de tradução. Os espanhóis trouxeram os textos árabes nos séculos XXI e XXII. Alguns sons eram difíceis de pronunciar e pior ainda … não existiam letras para os representar. Um dos problemas era a letra sheen. Os textos continham abundantemente a expressão al-shalan que quer dizer “coisa desconhecida”. Como o espanhol não tinha um som correspondente ao sh, adotaram o som de ck, que em grego é escrito com o símbolo chi, “”. Mais tarde, quando foi traduzido para latim, o chi foi substituído pelo nosso x latino. Por exemplo, em inglês ainda se abrevia Xmas, que signif**a “Christmas” ou ainda é utilizada a letra chi (“”) grega como abreviação para “Christ”.
Alguns nomes importantes dinamizaram posteriormente a utilização de letras como o matemático francês Viète ou ainda Descartes. Este impulsionou a notação simbólica, convencionando o uso de letras minúsculas do começo do alfabeto para quantias conhecidas (a, b, c) e as da outra ponta para as desconhecidas (x, y, z).
É curioso … na língua portuguesa utilizamos as nossas próprias incógnitas quando referimos que numa festa estava lá fulano, beltrano e sicrano. O fulano para os matemáticos é o x, o beltrano y e o sicrano z. O que são ou quem são … não interessa.
Por fim outra curiosidade...a origem do nome raio-X.
Foi há mais de um século que o físico alemão Wilhelm Rontgen descobriu acidentalmente uma imagem estranha através de uns raios. Resolveu pedir à sua esposa que fizesse de cobaia e fotografou, com estes raios, a sua mão. No resultado viu claramente os ossos e o anel de casamento. Chamou-lhe na altura radiação–X. Mais tarde, após a sua morte, encontraram os registos desta experiência e pensaram que Rontgen queria mesmo que os raios tivessem esse nome. Assim a nomenclatura foi f**ando e quase ninguém utiliza o nome do seu criador. Apenas na Alemanha chamam raio Rontgen … porque será?
Imagine que lhe mandavam tirar um raio–Rontgen em vez de um raio-X. Parece estranho mas assim é que devia ser, em homenagem ao seu inventor... ah e quando ouvir o x como uma incógnita ou algo desconhecido … afinal … a culpa é dos espanhóis que não sabiam traduzir!
Hugo Carrasco
(Aluno de Doutoramento em Matemática na Universidade de Évora, Departamento de Matemática, Escola de Ciências e Tecnologias, Universidade de Évora)

06/06/2016

A Matemática no dia-a-dia

Paulo Correia, Professor no Departamento de Matemática da Universidade de Évora

Variadas são as formas como podemos entender a Matemática: o instrumento privilegiado na construção da Ciência em todos os seus ramos, a beleza estética das suas representações geométricas ou a elevação dos seus raciocínios lógicos.
Mas há uma outra forma que pretendemos abordar aqui: como um guia para a vida, um conjunto de procedimentos para enfrentar situações do dia-a-dia sejam elas profissionais, familiares ou de lazer. Vejamos então como processos usados em Matemática podem ser transpostos para situações reais.

Simplif**ação. Simplif**ar é uma das armas usadas em Matemática para procurar melhores resultados. Quando confrontados com expressões aparentemente complexas ter sangue-frio e procurar simplificá-las é uma chave para o êxito na sua execução. Por exemplo, a expressão (√4 〖cos〗^2 (π))/2tan(π/4) , que poderá assustar muita gente, designa apenas o número 1.

Identif**ação. Identif**ar o essencial num conjunto de informações, por vezes vastas e dispersas, é outro atributo necessário para os matemáticos enfrentarem problemas. Actualmente, com o manancial de informação disponível torna-se decisivo distinguir o essencial do acessório, detectar o que em cada situação é de facto o ponto-chave.

Decomposição. Cada problema tem o seu grau de complexidade, maior ou menor. Mas a Matemática ensina-nos a decompôr esse problema em vários outros, mais simples, cuja resolução podemos mais facilmente alcançar. Quem nunca se encontrou numa situação em que pensamos: "Não sei para onde me virar!"? Tentando decompôr a amálgama de sensações e percepções com que a realidade nos bafeja em estratos mais simples, mais facilmente delinearemos uma acção a tomar para cada um deles.

Aproximação. A Matemática é uma Ciência Exacta e não há paradoxo algum no facto de muitas vezes usarmos aproximações com o inerente erro, erro esse que deverá ser controlado. E os resultados podem ser tão bons quanto nós pretendermos. Não é pois de desprezar a possibilidade de podermos alcançar algo que, não sendo o que idealmente pretendíamos, f**a contudo a uma distância muito pequena.

Acção. Perante um problema matemático somos impelidos a agir, definindo estratégias que, usando os conhecimentos adquiridos, permitam enfrentar e resolver o desafio. Este ímpeto para vencer a inércia e activamente procurar enfrentar com êxito as tarefas que nos surgem no dia-a-dia é mais uma das características que a Matemática nos pode ensinar.

(O autor segue a ortografia anterior ao Acordo Ortográfico de 1990.)

Paulo Correia
Prof. Auxiliar no Departamento de Matemática, Escola de Ciência e Tecnologia da Universidade de Évora)

12/05/2016

Explorística – Aventuras na Estatística

A importância da Estatística tem vindo a acentuar-se nos últimos anos. O desenvolvimento tecnológico possibilita a recolha e armazenamento de imensos dados. Saber extrair o essencial desses dados e ser capaz de sintetizar e transmitir esse essencial numa linguagem facilmente entendível é uma mais valia em qualquer área do conhecimento.
Nos ensinos básico e secundário são lecionados diversos conceitos da Estatística e das Probabilidades. Com o objetivo de desenvolver a literacia em Estatística, a exposição Exploristica permite transmitir, de forma prática e experimental, alguns desses conceitos, incidindo sobre cinco fases importantes do processo estatístico: Selecionar, Recolher, Descrever, Estimar e Interpretar. Os conteúdos são apresentados através de seis módulos independentes que patenteiam essas fases sob a forma de jogos e atividades interativas que os participantes percorrem em grupos. Ao longo destes módulos terão oportunidade em fazer tiro com arco, realizar uma sondagem para estimar a proporção de votantes num dado candidato, usar simulações e dados reais para descobrir qual ou quais os dados viciados que o dono de um casino utiliza para enganar os seus clientes, fazer um Quizz com a informação os dados dos Censos em jeito do “Quem quer ser milionário”, viajar, dentro de um submarino, por um ecossistema subaquático onde é preciso recolher espécimens de um réptil, que depois de serem capturados são medidos, pesados, identif**ado o seu s**o, determinada a sua idade, antes de serem devolvidos novamente ao mar. Todos os dados recolhidos nos módulos, bem como alguma informação recolhida sobre cada participante no módulo de boas vindas f**a registada podendo ser trabalhada posteriormente na sala de aula.
São transmitidos conceitos como a recolha da informação (por vias da entrevista e da observação direta), descrição de resultados com base em gráficos apropriados para cada tipo de dados (diagrama de dispersão, gráfico de barras, diagrama de extremos e quartis), frequência relativa, probabilidade, amostragem aleatória, amostragem não aleatória, Censos, medidas de localização, medidas de dispersão e distância euclidiana.
Esta Exposição itinerante já passou por 21 locais de todos o país e Galiza, tendo percorrido mais de 2000 km e sido visitada por milhares de alunos. Foi também apresentada em várias conferências internacionais, nomeadamente, na Suíça (2013), Hong Kong (2013), Estados Unidos (2014) e no Brasil (2015). Trata-se de uma iniciativa da SPE (Sociedade Portuguesa de Estatística), com o apoio da Ciência Viva, e foi recentemente galardoada com o prémio internacional “IASE-ISLP Best Cooperative Project Award in Statistical Literacy 2015”, pelos institutos International Association for Statistical Education (IASE) e International Statistical Literacy Project (ISLP).
Os alunos e professores das Escolas do distrito de Évora poderão aproveitar esta oportunidade única visitando a Exposição no Colégio Luís António Verney durante o mês de Abril, para o que devem agendar a visita consultando a página do Departamento de Matemática da Universidade de Évora em www.dmat.uevora.pt. Podem ver-se informações mais específ**as da Exposição na página web da mesma em www.exploristica.com.

Paulo Infante
(Professor Auxiliar no Departamento de Matemática da Universidade de Évora)