06/06/2026
【學術文章】
四面環海的台灣,海岸線有多長?當我們上網搜尋台灣海岸線長度,每個政府機關的數字都不一樣。國家發展委員會的答案是1566公里、經濟部水利署是1520公里,而內政部國土管理署則是1730公里,甚至有行政院報告的海岸線長達1988公里(以上數據皆包含台灣本島及離島)。到底哪一個才是真實海岸線的長度?
假設我們拿一個100公里長的尺,要來測量台灣的海岸線,所得到的數據是一個粗略的幾何形狀--大約800公里;改用1公里的尺,可量出更多彎曲細節,長度約1200公里;若用1公尺的尺,那幾乎是貼著沿岸凹凸的岩石測量,結果就可能達數千到數萬公里。可以發現,當測量的尺度越小,海岸線長度就可以趨近於無限長。
這就是著名的「海岸線悖論」。此現象由數學家Lewis Fry Richardson 發現,後由 Benoît Mandelbrot 於1967發表《英國的海岸線有多長?》之論文中提出解釋,指出海岸線等自然界的地形具有「自相似」特徵,意思是無論將圖形放大多少倍,他的局部結構都與整體呈現近似,甚至完全相同的形狀,永遠充滿細節且不會變得平滑,因此無法導出單一的最終值,屬於「碎形(Fractal)」。
碎形是一種無論放大多少倍都不會變得平滑的幾何結構,其特徵就是擁有古典幾何圖形沒有的「非整數維度」,不同於傳統的一維線段、二維平面或三維立體。用世界上最著名的碎形「謝爾賓斯基三角形(Sierpinski triangle) 」為例,這個圖形的維度就是log2(3) ,也就是1.585維,這種非整數維度也稱為「豪斯多夫維度」。
除了數學上的碎形有自己的維度以外,像海岸線這種不規則狀的碎形在地理分析中也可以透過「計盒維度法」估算,維度越接近1代表越平滑、近似直線,越大則越曲折。像是南非的海岸線維度約1.05,台灣約1.04,英國約1.21,而挪威因為擁有彎曲的峽灣冰河地形,維度高達1.52維,也是全世界豪斯多夫維度最高的國土形狀。
碎形不只存在於地形,也廣泛出現在我們的生活中,如:花椰菜從莖長出的分岔約2.8維、閃電的分岔約1.34維,甚至揉皺的紙與股市走勢也具有碎形特徵。醫學上,惡性腫瘤血管的碎形維度會顯著高於正常組織,而近視視網膜血管的維度則會比一般健康的還低。可見自然界有許多結構皆為碎形,難以用古典幾何進行測量。
碎形為自然界提供了更貼近真實的量化方式, 在自然界中,物體的大小、面積、長度,往往無法用傳統死板的數字來一概而論,而是取決於觀測的方式與尺度。所以,回到最初的問題:像海岸線這種不規則且持續變動的邊界,本來就不會存在單一且最精確的標準答案。
|參考資料|
Mandelbrot, B. B. (1967). How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science, 156(3775), 636–638.
Y Gazit.(1997).Fractal characteristics of tumor vascular architecture during tumor growth and regression. National Library of Medicine.
Carol Y. Cheung.(2012). Retinal Vascular Fractal Dimension and Its Relationship With Cardiovascular and Ocular Risk Factors. Science.
Fractals in nature. Fractal Foundation.
https://fractalfoundation.org/OFC/OFC-10-4.html
如何測量蘇格蘭的海岸線與科羅拉多河?—《股價、棉花與尼羅河密碼》
https://pansci.asia/archives/107443
Scratch&Math:海岸線到底有多長. Medium.
https://medium.com//scratch-math-%E6%B5%B7%E5%B2%B8%E7%B7%9A%E6%9C%89%E5%A4%9A%E9%95%B7-%E4%B8%80-c1a160b08873
畢導THU. (2026). 這條線看得清摸得著,但你永遠測不出他的長度. YouTube.
謝爾賓斯基三角形。維基百科。
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%AC%9D%E7%88%BE%E8%B3%93%E6%96%AF%E5%9F%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
|圖片來源|
維基百科、親子天下